Hilfe ggT Gleichung
Meine Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie drei verschiedene Lösungen
Für folgende Gleichungen:
G1 ggT (24|x)=6
G2 ggT (y|18)=3
G3 ggT (a|b)=4
Dies ist nicht schwer.
Aber die folgende Ergänzung:
Wieviele Lösungen haben die Gleichungen insgesamt?
Meine Vermutung: alle unendlich!
Kann man das Irgendwie herleiten? Beweisen?
Und dann noch:
Beweisen sie folgende Behauptung:
ggT(2n-1|2n+1)=1
Also es sind ja beide ungerade Zahlen.
Wie kann man das Beweisen???
G1 ggT (24|x)=6
G2 ggT (y|18)=3
G3 ggT (a|b)=4Dies ist nicht schwer.
Aber die folgende Ergänzung:
Wieviele Lösungen haben die Gleichungen insgesamt?Meine Vermutung: alle unendlich!
Kann man das Irgendwie herleiten? Beweisen?
z.B.
x=6*7^n (da 7 kein Teiler von 24 ist)
Damit hätte man schon unendlich viele Lösungen für die erste Gleichung. Bei den anderen geht es analog.
Und dann noch:
Beweisen sie folgende Behauptung:
ggT(2n-1|2n+1)=1
Also es sind ja beide ungerade Zahlen.
Wie kann man das Beweisen???
Wenn a kein Vielfaches von b ist (aber a>b), dann ist ggT(a,b)=ggT(a mod b,b).
mfg,
Ché Netzer
Beim Ausprobieren habe ich gerade etwas festgestellt:
G1 kann ich mit z.B. 6x9^n zeigen, dass unendlich
Bei G2 geht das glaube ich nicht!
Habe mehre Zahlen ausprobiert. Auf einmal ist der ggT nicht mehr 3 sondern 6,9 oder 18.
Woran liegt das und ab wann ändert sich das??
Bzw. gibt es denn eine Zahl, die ich mit 3 multiplizieren kann und trotzdem ist der ggT = 3?
moin;
doch, dort geht es auch.
Der ggT lässt sich direkt aus der Primfaktorzerlegung herleiten:
18=3*3*2.
Die einfachste Zahl, die den ggT 3 mit der 18 hat, ist offenbar die 3.
Allerdings gibt es auch hier unendlich viele Lösungen, nämlich alle die Zahlen, in deren Primfaktorzerlegung nie wieder 3 oder 2 auftauchen, wie beispielsweise 3*5^n.
Du hast vermutlich als Faktoren 2 (ggT: 2*3=6), 3 (ggT: 3*3=9) und auch beide, also die 6 oder irgendwelche anderen Zahlen, die eben diese in der Primfaktorzerlegung aufwiesen, gewählt, darum hat sich auch der ggT geändert.
mfG
Bei G2 geht das glaube ich nicht!
Doch.
Habe mehre Zahlen ausprobiert. Auf einmal ist der ggT nicht
mehr 3 sondern 6,9 oder 18.
Was hast du denn da angestellt? Man nimmt zuerst die 3 als Faktor und danach kann man die Primzahlen durchprobieren. Da hat man gleich beim dritten Versuch Erfolg. Oder du wählst eine Primzahl, die größer als 18 ist, um sicher zu gehen.
Woran liegt das und ab wann ändert sich das??
Stichwort Primfaktoren.
Bzw. gibt es denn eine Zahl, die ich mit 3 multiplizieren kann
und trotzdem ist der ggT = 3?
Jede beliebige, die sich nicht aus Teilern von 18 (oder eigentlich 18/3, also 6) zusammensetzt.
Also alles außer 2, 3 und den Zahlen, die 2 oder 3 als Teiler haben.
mfg,
Ché Netzer