Meine Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie drei verschiedene Lösungen
Für folgende Gleichungen:
G1 ggT (24|x)=6
G2 ggT (y|18)=3
G3 ggT (a|b)=4
Dies ist nicht schwer.
Aber die folgende Ergänzung:
Wieviele Lösungen haben die Gleichungen insgesamt?
Meine Vermutung: alle unendlich!
Kann man das Irgendwie herleiten? Beweisen?
Und dann noch:
Beweisen sie folgende Behauptung:
ggT(2n-1|2n+1)=1
Also es sind ja beide ungerade Zahlen.
Wie kann man das Beweisen???
Meine Meinung nach gibt es für die ersten 3 aufgaben nur Jeweils eine Lösung da es sich schliesslich um den grössten gemeinsamen Teiler handelt(der grösste ist nur einer). Für das beweisen der anderen Gleichung hilft dir möglicherweise die Berechnung des ggT mittels primfaktorzerlegung(siehe Wikipedia). Ansonsten binn ich leider überfragt.
mfg
Hallo
Hast du schon mit Matrizen gerechnet? Dann kann ich dir einen Lösungsweg angeben…
Wenn der Rang der Matrix= n ist gibt es genau 1 Lösung, wenn er kleiner als n dann undendlich viele…
Aber eigentlich sollte es ja nur 1 Lösung geben für den Grössten gemeinsamen Teiler…
Primzahlen sind ja nur durch 1 und sich selbst teilbar , somit müsstes du beweisen das 2n+1 und 2n-1 immer nur eine Primzahl ergibt…welche durch 1 sich selbst und durch 1 teilbar ist. Für n=0 ergibt es 1 und -1 welche nur durch 1 teilbar ist und dies auch der ggt ist…
sorry! War lang nicht mehr da!
Gab es da mittlerweile keine Antwort?
(Beweis von ggT(2n-1|2n+1)=1 siehe unten #2#)
#1#
Nur kurz für meine eigene Wdh (Studium ewig her!): bedeutet z.B. G1: ggT (24|x)=6
24=6*4 => x=6k mit k „Element von“ M1={k|k mod40}
o.ä. k4m…(oder mit Euklidischem Algorithmus …)
Wie war denn kurz Dein Lösungsansatz???
G1 ggT (24|x)=6=>x=6k k "Element von"M1
G2 ggT (y|18)=3=>y=3n n"Element von"M2…
G3 ggT (a|b)=4 =>a=4o & b=4p o"Element von"M3…
(a,b)={(8,4)(12,4)(16,4)…(4*3,8)(4*5,8)(4*7,8)…(4*5,4*3),(4*7,4*3)…}
G3 alleine Unendlich UND unabhängig von G1,G2
oder meintest Du
G3: ggT (x|y)=4
(Oder kein Gleichungssystem sondern jede einzeln?)
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#2#
ggT(2n-1|2n+1)=1
Es gibt keinen („echten“) gemeinsamen Teiler von
2n-1 und 2n+1!
#Widespruchsbeweis#
Ann.: Es gibt natürliche Zahlen x1 mit:
(I) 2n-1=k*x UND
(II) 2n+1=k*y
=>(II)-(I): 2=k(y-x)
=> y-x=2 UND k=1 „kein echter Teiler“=>Widerspruch!
ODER y-x=1 UND k=2 WIDERSPRUCH, da dann
2n-1=k*x und 2n+1=k*y gerade Zahlen wären!
q.e.d.