Hilfe! Integral sin^2 ( u ) du

Wissenschaft Physik
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Hallo Leute !
Ich schreib morgen Mathe, und hab mal die alten Klausuren
durchgerechnet…
bei einem Integral bleib ich hängen…
und zwar

Int sin^2 ( u ) du

zwischen den Grenzen von 0 bis t.
Kann mir jemand den Lösungsansatz verraten?
Ich habs mit partieller Integration versucht, aber das haut überhaupt nicht hin…
Hier mein Ansatz :

u = sin u u´ = cos u
v´= sin u v = -cos u damit ist dann

I = [-sin u * cos u] + Int cos^2 u du

dann wieder partiell integriert :

p = cos u p´ = -sin u
q´= -sin u q = sin u

also :

[-sin u * cos u] + [cos u * sin u] + Int sin^2 u du

das folgende Integral ist ja wieder das Ursprungsintegral, jedoch kann ich es ja aufgrund des Vorzeichens nicht auf die andere Seite bringen, und die beiden Klammern heben sich auch auf…
Was mach ich falsch?

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Hi Daniel,

Int sin^2 ( u ) du

zwischen den Grenzen von 0 bis t.
Kann mir jemand den Lösungsansatz verraten?

sin^2(x) = 1/2 (1 - cos(2 x))

und zu der Funktion auf der rechten Seite kann man viel leichter die Stammfunktion finden.

Gruß
Martin

3

oder cos^2 = 1 - sin^2 verwenden für das Integral auf der rechten Seite,
dann haut es auch mit dem Vorzeichen hin
Gruß
Stefan

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Hm, danke für die Umformungstipps mit den Additionstheoremen, aber irgentwie bin ich für diese Aufgabe nicht gemacht… :frowning:
Ich komm nicht auf das Ergebnis…

Mathcad spuckt da als Ergebnis

1/2 * sin^2 ( x^2 )

aus… hm…
Falls jemand noch wach oder noch nicht weg ist, und Lust hat, mir den Lösungsweg zu schreiben, dann wär ich sehr dankbar…

Gruß Daniel

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Hallo Daniel,

Mathcad spuckt da als Ergebnis

1/2 * sin^2 ( x^2 )

also, wenn Mathcad dieses Ergebnis aus einer Integration von (1-cos(2*x)/2 rauskriegt, würde ich an deiner Stelle dringend auf Maple oder Mathematica umsteigen…

Aber wozu brauchst du überhaupt eine Computerprogramm? Mit Martins nützlichem Tipp mit dem Additionstheroem sollte das Integral kein Problem mehr darstellen. Substituiere doch einfach mal y=2*x.

Alternativ kannst du natürlich auch Stefans Vorschlag umsetzen, ist dann auch ganz einfach:

Int(sin^2(x)dx)=[-sin(x)*cos(x)]+Int(cos^2(x)dx) | +Int(sin^2(x)dx)
2*Int(sin^2(x)dx)=[-sin(x)*cos(x)]+Int([cos^2(x)+sin^2(x)]dx) | *1/2
Int(sin^2(x)dx)=[-sin(x)*cos(x)]/2+Int(dx)/2
Int(sin^2(x)dx)=[-sin(x)*cos(x)]/2+x/2

Viele Grüße
Jens

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Thnx a lot!
Danke für Eure Tipps,
habs dann nachts noch dank Eurer Tipps hinbekommen… :wink:
Das Integral kam auch wieder in der klausur dran.

Gruß Daniel