HILFE ;-( simple Mechanikaufgabe: Luftreibung

[Stefan_a18aa0]

Hallo Leute

Ich brauch hier nichts einfach nur gelöst haben, sondern ich versteh es nicht und würde mich über Anregungen freuen:

"Stellen Sie sich vor, es regnet und die Tropfen prasseln aus 1 km H¨ohe auf Ihren Regenschirm.

Wie w¨are ihre Geschwindigkeit bei einem Str¨omungswiderstand von C = 0.6?
Nehmen Sie hier an, die Tropfen seien kugelf¨ormig und h¨atten einen Durchmesser von
2 mm. Die Dichte von Luft bzw. Wasser betr¨agt 1.2 kg/m3 bzw. 1 kg/l."

Ich habe mit F =1/2*cw*rho*A*v^2 folgendes errechnet:

Die Reibungskraft F = 0,36 * pie * milligramm / Meter * [v(t)]^2
Und die Bremsbeschleunigung a = 0,27 / Meter * [v(t)]^2

Aber was mach ich jetzt?

Addiere ich die Erdbeschleunigung und die Bremsbeschleunigung?

Dann krieg ich a[real]= 10 m/s^2 - 0,27 / Meter * [v(t)]^2

Und jetzt? s= 1km = SSa[real]dtdt

Aber das kann ich echt nicht… Geht es einfacher?

Vielen Dank für eure Hilfe

VG, Stefan

[chatairliner]

huhu,

Ich habe mit F =1/2*cw*rho*A*v^2 folgendes errechnet:

Die Reibungskraft F = 0,36 * pie * milligramm / Meter *
[v(t)]^2
Und die Bremsbeschleunigung a = 0,27 / Meter * [v(t)]^2

auf den ersten blick wuerde ich meinen: 3 gleichungen, 3 unbekannte(v,a,F)[->F luftwiderstand = F reibung, denn eine andere gibt es nicht in der luft]

denk ich…

kritisier mich mal…

mfg
rene

[Stefan_a18aa0]

Hallo

kritisier mich mal…

Ich denk ich muss mit Integralen rechnen, weil ich keine gleichförmig beschleunigte Bewegung habe. Und dann seh ich nicht welche Gleichungen du meinst…

Die Gleichung s=1km=SSa[real]dtdt hat ja nur eine (echte) Unbekannte, und zwar t[Ende des Falls].
Aber das ist doch eine Differntialgleichung von der ich fast noch nie eine gelöst habe.

VG, Stefan

[Martin]

Hallo Stefan,

auf das Tropfeli wirken zwei Kräfte (fetter Buchstabe = Vektor):

(1) die nach oben (entgegengesetzt zu v ) gerichtete Luftreibungskraft F _reib und
(2) die nach unten gerichtete Gravitationskraft F _grav.

Am Anfang ist F_reib klein und der Tropfen wird praktisch mit dem vollen F_grav nach unten beschleunigt. Aber mit seinem Schnellerwerden wächst auch F_reib. Irgendwann ist F_reib betragsmäßig genau so groß wie F_grav. Dann resultieren beide Kräfte zu Null und der Tropfen beschleunigt fortan nicht weiter, sondern fällt mit konstanter Geschwindigkeit („stationärer Zustand“).

Deine Aufgabe besteht damit im Lösen der Kräfte-Gleichgewichts-Gleichung F_reib = F_grav mit

F_reib = 1/2 c_w ρ_Luft A v²

F_grav = m g = ρ_Wasser V g

Das sollte kein Problem für Dich sein. Ergebnis zur Kontrolle (D = Tropfendurchmesser):

v = √(D g k/(3 c_w)) mit k = ρ_Wasser/ρ_Luft

Mit freundlichem Gruß
Martin

[chatairliner]

huhu,

Ich denk ich muss mit Integralen rechnen, weil ich keine
gleichförmig beschleunigte Bewegung habe. Und dann seh ich
nicht welche Gleichungen du meinst…

Die Gleichung s=1km=SSa[real]dtdt hat ja nur eine (echte)
Unbekannte, und zwar t[Ende des Falls].
Aber das ist doch eine Differntialgleichung von der ich fast
noch nie eine gelöst habe.

haette es auch wie martin geloest, wenn ich nur eine gleichung haette. woher hast du die andern gleichungen?

eigentlich eine der simpelsten aufgaben der stroemungstechnik…aber deine beschleunigung…

wenn v(t)= x+1
und a(t)=v(t)/t, dann waere doch a(t)=(x+1)/t oder irre ich mich da?

aber wie gesagt…fuer die aufprallgeschwindigkeit brauchst du das eigentlich nicht…

mfg
rene

[Stefan_a18aa0]

Vielen Dank euch beiden nochmal!

Ich hab da wohl etwas kompliziert gedacht und nicht einfach die Näherung getroffen, dass der Tropfen seine Maximalg’keit nach 1 km hat.

Wenn ich die Maxg’keit hatte ausrechnen wollen, hätte ich wohl auch
S a[real] dt in den Grenzen null und unendlich errechnet, statt es leicht zu machen

Doch wenn man dazu noch die Fallzeit wissen *wollte*, dann müsste man doch die Differentialgleichung 1km= S S areal dt dt lösen, oder geht das auch leichter?

VG, Stefan

[chatairliner]

S a[real] dt in den Grenzen null und unendlich errechnet,
statt es leicht zu machen

Doch wenn man dazu noch die Fallzeit wissen *wollte*, dann
müsste man doch die Differentialgleichung 1km= S S
areal dt dt lösen, oder geht das auch leichter?

huhu,

s=SSa(v(t)^2)???

wenn ich a und v habe, warum noch integrieren?

in welchen grenzen?

es duerfte doch nichts anderes sein, als wenn du die zeit einer gleichfoermigen beschleinigung ausrechnen wuerdest. du brauchst v und a und kannst dann rechnen.

genauso muesste es hier sein…glaube ich…

aber vielleicht irre ich mich…

mfg
rene

[Martin]

Hallo Stefan,

Ich hab da wohl etwas kompliziert gedacht und nicht einfach
die Näherung getroffen, dass der Tropfen seine Maximalg’keit
nach 1 km hat.

bei 1 km bist Du, was diese Annahme angeht, auf der sicheren Seite. Der Tropfen erreicht seine Maximalgeschwindigkeit innerhalb einer Strecke der Größenordnung 10 m.

Doch wenn man dazu noch die Fallzeit wissen *wollte*, dann
müsste man doch die Differentialgleichung 1km= S S
areal dt dt lösen, oder geht das auch leichter?

Nein, um die Fallzeit zu bekommen, musst Du die Differentialgleichung lösen – da führt kein Weg daran vorbei. Dies ist aber keine anspruchsvolle Aufgabe; mit der Separation-der-Variablen-Methode kommt man hier schnell zum Ziel.

Mit freundlichem Gruß
Martin

PS: So wie sich „chatairliner“ das denkt, gehts natürlich nicht. Sämtliche Formeln für gleichmäßig beschleunigte (und natürlich auch gleichmäßige) Bewegungen dürfen für das Regentropfenproblem selbstverständlich nicht angewendet werden, weil hier halt keine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorliegt.

[chatairliner]

Nein, um die Fallzeit zu bekommen, musst Du die
Differentialgleichung lösen – da führt kein Weg daran vorbei.
Dies ist aber keine anspruchsvolle Aufgabe; mit der
Separation-der-Variablen-Methode kommt man hier schnell zum
Ziel.

Mit freundlichem Gruß
Martin

PS: So wie sich „chatairliner“ das denkt, gehts natürlich
nicht. Sämtliche Formeln für gleichmäßig beschleunigte (und
natürlich auch gleichmäßige) Bewegungen dürfen für das
Regentropfenproblem selbstverständlich nicht angewendet
werden, weil hier halt keine gleichmäßig beschleunigte
Bewegung vorliegt.

danke fuer den hinweis…konnts mir schon denken.

allerdings wundert mich s=SSavdtdt…soll die formel passen?

mfg:smile:
rene

[Martin]

allerdings wundert mich s=SSavdtdt…soll die formel passen?

Nee, die ist Nonsens.

Gruß
Martin

[Stefan_a18aa0]

allerdings wundert mich s=SSavdtdt…soll die formel passen?

Nee, die ist Nonsens.

Wieso das denn? Ich hab sie erhalten als Subtraktion von der Erdbeschleunigung und der Reibungkraft/Tropfenmasse…

VG, Stefan

[Martin]

allerdings wundert mich s=SSavdtdt…soll die formel passen?

Nee, die ist Nonsens.

Wieso das denn? Ich hab sie erhalten als Subtraktion von der
Erdbeschleunigung und der Reibungkraft/Tropfenmasse…

Was auch immer Du mit diesem seltsamen Doppelintegral ausdrücken willst – die Chose kann schon dimensionsmäßig nicht hinkommen. a v hat die Dimension „Länge²/Zeit³“; zweimalige Zeitintegration führt auf die Dimension „Länge²/Zeit“. Wie soll das mit der Dimension „Länge“ von dem Weg s auf der linken Seite zu vereinbaren sein?

[Stefan_a18aa0]

Was auch immer Du mit diesem seltsamen Doppelintegral
ausdrücken willst – die Chose kann schon dimensionsmäßig nicht
hinkommen. a v hat die Dimension
„Länge²/Zeit³“; zweimalige
Zeitintegration führt auf die Dimension
„Länge²/Zeit“. Wie soll das mit der Dimension
„Länge“ von dem Weg s auf der linken Seite zu vereinbaren
sein?

Ich habe gesagt a[v(t)] wird integriert. Das ist einfach eine Beschleunigung, die folgenden Wert hat und dabei von v(t) bzw. von v(t)^2 abhängig ist. Vielleicht hätte ich auch a(t) schreiben können, aber ich wusste nicht, ob das der Sache gerecht wird…

a[v(t)] = [Gewichtskraft des Tropfens - Reibungskraft] / Masse des Tropfens
= 10 m/s^2 - 0,27/m * v(t)^2

Wie du siehst, kommen die Dimensionen hin. Ich hab auch vorher kenntlich gemacht, dass ich kein Produkt a*v Integrieren will, sondern habe v(t) (anscheinend aber erfolglos) als Argument von a kenntlich gemacht.

Das ist also eine Beschleunigung, die von v(t) abhängig ist. Und die G’keit ist ja definiert als Integral der Beschleunigung über die Zeit
v = S a dt
und die Strecke s ist das Integral der G’keit über die Zeit, also
s = S v dt
Damit lässt sich dann die Strecke ausdrücken als Doppelintegral der Beschleunigung über die Zeit
s = SS a dtdt

Ich meine, das sei ja nur die Verallgemeinerung von s = 1/2*a*t^2, wenn a keine Konstante ist.

VG, Stefan

[Martin]

Hallo Stefan,

Ich habe gesagt a[v(t)] wird integriert.

Ach so, OK. Ist mir entgangen… sorry.

a[v(t)] = [Gewichtskraft des Tropfens - Reibungskraft] / Masse
des Tropfens
= 10 m/s^2 - 0,27/m * v(t)^2

Wie du siehst, kommen die Dimensionen hin.

Ja, das tun sie.

Ich hab auch vorher
kenntlich gemacht, dass ich kein Produkt a*v Integrieren will,
sondern habe v(t) (anscheinend aber erfolglos) als Argument
von a kenntlich gemacht.

OK.

Das ist also eine Beschleunigung, die von v(t) abhängig ist.

Ja, und da liegt der Hund begraben…

Und die G’keit ist ja definiert als Integral der
Beschleunigung über die Zeit
v = S a dt

…denn wenn Du hier den a[v(t)]-Audruck von oben einsetzt, bekommst Du…

v(t) = ∫ (10 m/s^2 - 0,27/m * v(t)^2) dt

…und hier steht das gesuchte v(t) links, aber gleichzeitig auch rechts als Teil des Integranden! Damit läßt sich nichts Vernünftiges anfangen.

Ich meine, das sei ja nur die Verallgemeinerung von s =
1/2*a*t^2, wenn a keine Konstante ist.

Nein, ist es leider nicht. Wenn a eine Konstante ist, sieht die Sache ganz anders aus: „v(t) = ∫ g dt“ (d. h. a = g = 9.81 m/s² = const.) läßt sich problemlos auflösen (mit dem wohlbekannten Ergebnis s(t) = 1/2 g t²), weil die gesuchte v(t)-Funktion nur links steht. Die Voraussetzung dafür, dass Du einfach mit „v(t) = ∫ a(t) dt“ zum Ziel kommst (bzw. dann im zweiten Schritt noch s(t) = ∫ v(t) dt), ist, dass die Beschleunigung a zeitabhängig – lies: höchstens rein zeitabhängig –, also a = a(t) ist. Hängt sie jedoch statt dessen oder zusätzlich von s oder v ab, also z. B. a = a(v) (Beispiel: Regentropfenproblem) oder a = a(s, v, t), hast Du keine andere Möglichkeit als zu versuchen, die Differentialgleichung zu lösen.

Gruß
Martin

[chatairliner]

habt ihr schon was ausgerechnet?

wie lautet v(t)?

[Stefan_a18aa0]

habt ihr schon was ausgerechnet?

wie lautet v(t)?

keine Ahnung. Bei Kräftegleichgewicht ist etwa V= 6,09 m/s

[chatairliner]

habt ihr schon was ausgerechnet?

wie lautet v(t)?

keine Ahnung. Bei Kräftegleichgewicht ist etwa V= 6,09 m/s

mmmh…das hab ich auch raus…
aber differentialgleichung weiche von mir…das krieg ich nicht auf anhieb hin.
aber hab ne zeit von 84 sekunden raus…auch wenns falsch ist, hoert sich gut an:smile:))

[Martin]

wie lautet v(t)?

keine Ahnung. Bei Kräftegleichgewicht ist etwa V= 6,09 m/s

Hier eine Kurzfassung der Rechnung:

„Newton III“ lautet für das Regentropfenproblem

F _grav + F _reib = m d² x /dt²

Die Kräfte haben die Beträge

F_grav = m g

F_reib = 1/2 c_w ρ_Luft A v²

Durch Einsetzen gewinnt man die Differentialgleichung. Als dx/dt-Vorfaktor ergibt sich dabei der Term 3 c_w/(4 k d) (mit k = ρ_Wasser/ρ_Luft ≈ 1000/1.2 ≈ 833.3; d = Tropfendurchmesser), der eine reziproke Länge darstellt. Sein Kehrwert ist die natürliche Längeneinheit des Problems:

L = 4 k/(3 c_w) d

Die Differentialgleichung, die man erhält, lautet:

---

dv/dt + 1/L v² = g

Im Stationären Zustand ist dv/dt = 0 (Tropfen beschleunigt nicht weiter hat seine Endgeschwindigkeit v_∞ = lim_{t → ∞} v(t) erreicht). Daraus folgt v_∞ zu

v_∞ = √(g L)

v_∞ ist die natürliche Geschwindigkeitseinheit des Problems.

Durch Umskalierung von v und t kommt man auf dimensionslose Form der Diff.gleichung. Sie lautet:

---

dυ/dθ + υ² = 1

mit υ := v/v_∞ und θ := t/T

T ist die natürliche Zeiteinheit des Problems. Es gilt: T = √(L/g); v_∞ T = L; g T = v_∞.

Jetzt zur Lösung der Diff.gleichung. Erfreulicherweise ist eine Separation der Variablen möglich:

dυ/dθ = 1 – υ²

1/(1 – υ²) dυ = dθ

Jetzt sind die Variablen getrennt und beide Seiten bereit zur Integration:

∫_0…υ 1/(1 – υ’²) dυ’ = ∫_0…θ dθ’

1/(1 – x²) hat als Stammfunktion artanh(x) (siehe Formelsammlung, z. B. Bronstein, oder Mathematica-Integrator, artanh = „Areatangens“).

Ergebnis:

υ(θ) = tanh(θ)

Die Geschwindigkeit des Regentropfens wächst also mit der Zeit nach einer tanh-Funktion.

Aus der Diff.gleichung resultiert damit sofort die Beschleunigung des Tropfens zu

---

α(θ) = 1 – tanh²(θ)

(α := a/g)

Zur Bestimmung der Weg-von-Zeit-Funktion muß υ(θ) integriert werden. Das ist kein Problem. tanh(x) hat als Stammfunktion ln(cosh(x)).

Ergebnis:

σ(θ) = ln(cosh(θ))

(σ := s/L)

Die Umkehrfunktion θ(σ) folgt zu

θ(σ) = arcosh(exp(σ))

und damit erhält man die Funktionen υ(σ) und α(σ):

υ(σ) = tanh(arcosh(exp(σ)))

α(σ) = 1 – tanh²(arcosh(exp(σ)))

Nach Durchfallen der Strecke L hat der Tropfen also den tanh(arcosh(exp(1)))-ten (≈ 93 %) Teil von v_∞ erreicht; nach Durchfallen von 2 L den tanh(arcosh(exp(2)))-ten (≈ 99 %) Teil von v_∞.

Beispiel-Regentropfen:
Mit k = 833.3, c_W = 0.6, d = 2 mm, g = 9.81 m/s² ergibt sich
L = 3.7037 m
v_∞ = 6.02771 m/s
T = 0.61444 s
Ca. 99 % seiner Endgeschwindigkeit v_∞ hat der Tropfen nach der Fallstrecke von ca. 7.4 m erreicht.

So, und Du solltest diese etwas ungewöhnlichen Funktionen nun noch in einen Funktionenplotter tippen, um zu sehen, dass sie tatsächlich stimmen.

Mit freundlichem Gruß
Martin

[chatairliner]

Beispiel-Regentropfen:
Mit k = 833.3, c_W = 0.6, d = 2 mm, g = 9.81 m/s²
ergibt sich
L = 3.7037 m
v_∞ = 6.02771 m/s
T = 0.61444 s
Ca. 99 % seiner Endgeschwindigkeit v_∞ hat der
Tropfen nach der Fallstrecke von ca. 7.4 m erreicht.

So, und Du solltest diese etwas ungewöhnlichen Funktionen nun
noch in einen Funktionenplotter tippen, um zu sehen, dass sie
tatsächlich stimmen.

huhu,

ich habe,um es zu ueberschlagen, s/v gerechnet, um zu wissen, wie lange er mindestens braucht…somit wusste ich…er wird ungefaehr 200sekunden brauchen…
also 1000m/6m/s=166.6…denn am anfang beschleunigt er fuer ein paar meter(wusste nicht, wie lange)…daher wusste ich auch, dass meine 84 falsch sind.

aber so eine differentialgleichung ist natuerlich was feines:smile:))

welche zeit ist das : T = 0.61444 s ?

mfg:smile:
rene

[Martin]

Hallo,

welche zeit ist das : T = 0.61444 s ?

das steht doch da:

T ist die natürliche Zeiteinheit des Problems.
Es gilt: T = √(L/g); v_∞ T = L; g T = v_∞.

v_∞ T = L bedeutet, dass T die Zeit ist, die der mit der Endgeschwindigkeit v_∞ fallende Regentropfen für die Höhendifferenz L benötigt. Und g T = v_∞ bedeutet, dass T die Zeit ist, die ein frei fallender Körper beim Start aus der Ruhe benötigt, um gerade die Geschwindigkeit v_∞ zu erreichen (was er jedoch schon innerhalb der Strecke L/2 schafft – rechne es selbst nach).

Der Regentropfen hat nach der Zeit T seit seinem (idealisierten) Start aus der Ruhe den tanh(1)-ten (≈ 76.1 %) Teil von v_∞ erreicht, und die Strecke, die er dabei zurückgelegt hat, ist der ln(cosh(1))-te (≈ 43.4 %) Teil von L.

Gruß
Martin