kann mir jemand bei folgendem sagen wie das geht?
Ich habe 2 Funktionen…
Die Funktionen cosh: R->R (cosinushyperbolicus) und
sinh: " (sinus " " ) sind definiert durch:
cosh(x):=1/2(exp(x)+exp(-x)), sinh(x):=1/2(exp(x)-exp(-x)), x Elemt. R
man soll folgendes zeigen:
a)
sinh bildet R auf R bijektiv ab.Für die Umkehrfunktion Ar sinh( Area sinus hyperbolici) gilt Ar sinh(x)=log(x+ sqrt(1+x^2)), x Elemt. R
b)
cosh bildet R+ bijektiv auf [1, infin.[ ab.
Für die Umkehrfunktion Ar cosh gilt Ar cosh(x)=log(x+sqrt(x^2 -1)), x Elemt. [1,infin.[
sqrt= wurzel von…
infin.=unendlich
grüße
Hi Nadine!
Die Funktionen cosh: R->R (cosinushyperbolicus) und
sinh: " (sinus " " ) sind definiert
durch:
cosh(x):=1/2(exp(x)+exp(-x)), sinh(x):=1/2(exp(x)-exp(-x)), x
Elemt. R
man soll folgendes zeigen:
a)
sinh bildet R auf R bijektiv ab.Für die Umkehrfunktion Ar
sinh( Area sinus hyperbolici) gilt Ar sinh(x)=log(x+
sqrt(1+x^2)), x Elemt. R
Zeige einfach, dass sinh injektiv ist [(d/dx)sinh(x)>0 für alle x e R] und zugleich surjektiv [lim_x->±oo sinh(x) = ±oo]. Dann existiert auch eine eindeutige Umkehrfunktion und es muß gelten x=sinh(arsinh(x)) [Einsetzen und ausrechnen]
b)
cosh bildet R+ bijektiv auf [1, infin.[ ab.
Für die Umkehrfunktion Ar cosh gilt Ar cosh(x)=log(x+sqrt(x^2
-1)), x Elemt. [1,infin.[
Bijektivitätsbeweis wieder genauso und für die Umkehrfunktion einsetzen x=cosh(arcosh(x))
Voila!
ciao Christoph C>
das weiss ich ja grad nich wie ich das beweisen soll…also die bijetivität von sinh
das weiss ich ja grad nich wie ich das beweisen soll…also die
bijetivität von sinh
Ähhh… hatte ich das nicht geschrieben?
Zitat: Zeige einfach, dass sinh injektiv ist [(d/dx)sinh(x)>0 für alle x e R] und zugleich surjektiv [lim_x->±oo sinh(x) = ±oo]. Dann existiert auch eine eindeutige Umkehrfunktion und es muß gelten x=sinh(arsinh(x)) [Einsetzen und ausrechnen]
Du zeigst also, dass (d/dx)sinh(x)>0 für alle x e R ist. D.h. Ableiten und kucken, ob positiv. Wenn dem so ist, ist sinh(x) injektiv. Dann Surjektivität: lim_x->±oo sinh(x) = ±oo. Das muss gelten. Also limes bilden und kucken obs stimmt. Wenn dem so ist, ist sinh(x) surjektiv. D.h. sinh ist sowohl injektiv als auch surjektiv, demnach bijektiv.
Ciao Christoph C>