Hilfe zu Aufbau einer Formel

lpoiu · 27. November 2006 um 17:42

Hallo,

ich habe in einem Buch eine Aufgabe zum Thema Rentabilität
gesehen und kann mir leider beim besten Willen nicht
erklären, wie ich die dort angegebene Formel benutzen muss.

Folgendes ist gegeben:

U(x) = 13x - 1/10 x^2
K(x) = 10 + 2x
C(x) = 300 + 50x

U(x) = Umsatzfunktion
K(x) = Kostenfunktion
C(x) = Kapitaleinsatzfunktion
G(x) = Gewinn in Abhängigkeit von x

Die Rentabilität ist definiert durch:

G(x) / C(x)

Zur Berechnung des Rentabilitätsmaximums nun folgende
Formel im Buch:

R(x) = G(x) / C(x)

dR / dx = ((dG / dx) * C(x) - G(x) * (dC / dx)) / (C(x))^2

dG / dC = G/C

Also das blick ich überhaupt nicht mehr…
Was bedeutet dieses kleine d das aufeinmal überall auftaucht?
Was muß ich denn wo/ wie einsetzen um auf das Ergebnis
der Musterlösung von

Maximale Rentabilität = R = 13,11 % bei x = 22,21

zu kommen?

Wäre echt dankbar für Hilfe

Gruß Peter

Ingo_von_Borstel · 27. November 2006 um 17:57

Moin,

U(x) = 13x - 1/10 x^2
K(x) = 10 + 2x
C(x) = 300 + 50x

Es fehlt, wie G(x) aussieht.

R(x) = G(x) / C(x)

dR / dx = ((dG / dx) * C(x) - G(x) * (dC / dx)) / (C(x))^2

dR/dx ist die Übliche Art und Weise die Ableitung der Funktion R(x) nach x zu kennzeichnen. Auf der rechten Seite wurde dann die Produktregel für Ableitungen angewandt. Das Maximum (oder Minimum) liegt dort, wo die Ableitung verschwindet, also dR/dx = 0. Einsetzen sollte die von Dir angegebenen Werte liefern.

Da Du Abi hast, findest Du mit diesen Stichworten den Rest sicher in Deinen Aufzeichnungen von der 12. /13. Klasse oder Du fragst hier weiter.

Gruß,
Ingo

lpoiu · 27. November 2006 um 18:12

Danke für die schnelle Antwort.
Also G(x) ist:

G(x) = U(x) - K(x)

Ich habe zwar Abi, hab aber tatsächlich noch nie gesehen
das man eine Ableitung so schreibt… Ich kenne das nur mit
einem Strich… also U’(x) zum Beispiel.

Nun muß ich auch zugeben das Mathe nicht unbedingt zu
meinen Lieblingsfächern gehört und hab auch wenn ich
die Formel nun umschreibe zu:

R’(x) = (G’(x) * C(x)-G(x) * C’(x)) / C(x)^2 = 0

noch keine Ahnung was ich da jetzt einsetzen soll oder wie ich
so was auflöse…

Also für ne kurze Anleitung (für dumme… *g) wäre ich echt dankbar.

Gruß Peter

M_L_ · 27. November 2006 um 19:10

Hallo an dieser Stelle.

Also G(x) ist:

G(x) = U(x) - K(x)

Sprich „Gewinn ist Umsatz minus Kosten“
G’(x) wäre dann U’(x)-K’(x)

also U’(x) zum Beispiel.

Das ist eine weitere Möglichkeit.

R’(x) = (G’(x) * C(x)-G(x) * C’(x)) / C(x)^2 = 0

noch keine Ahnung was ich da jetzt einsetzen soll oder wie ich
so was auflöse…

Gleichungen des OP einsetzen:
U(x) = 13x - 1/10 x^2
K(x) = 10 + 2x
C(x) = 300 + 50x (nur diese)

…und ausrechnen.

HTH
mfg M.L.

lpoiu · 27. November 2006 um 19:48

Danke für die Antwort.

G(x) = U(x) - K(x)

Sprich „Gewinn ist Umsatz minus Kosten“
G’(x) wäre dann U’(x)-K’(x)

Hmm ja das habe ich rausbekommen…
Wenn ich das Gewinnmaximum suche, dann
setze ich G’(x) = 0

Also: G’(x) = U’(x) - K’(x) = 0

= U’(x) = K’(x) = 0

= -0,2 x + 13 = 2

= -0,2 x = - 11

= x = 55

Dies ist in dem Fall die Gewinnmaximale Absatzmenge.
Wenn ich jetzt noch wissen möchte, was das Gewinnmaximum ist,
dann setze ich die 55 in U(x) und K(x) ein.

Also: U(55) = - 0,1 (55)^2 + 13 (55) -(2 (55) +10) = -302,5 + 715 - 120

= 292,5

Jetzt komme ich aber einfach nicht weiter…

Rentabilität = Gewinn / Eingesetztes Kapital

Also meiner Meinung nach doch dann, da ich ja auch
das Maximum der Rentabilität suche:

292,5 / 50x + 300

oder?

Allerdings hab ich auch da nicht die geringste Ahnung
wie ich das dann auflösen soll…

Das mit der Kettenregel hab ich jetzt gesehen und kann annähernd
nachvollziehen wie man auf diese Form da kommt…
Wobei ich absolut nicht weiß warum dann C(x)^2 da steht…

R’(x) = (G’(x) * C(x)-G(x) * C’(x)) / C(x)^2 = 0

Also falls ich das ganz falsch sehe und den errechneten maximalen
Gewinn oder die Gewinnmaximale Absatzmenge gar nicht brauche
um das aufzulösen, was muß ich denn dann mit der Gleichung
da oben jetzt machen?

Nach x auflösen?

Gleichungen des OP einsetzen:
U(x) = 13x - 1/10 x^2
K(x) = 10 + 2x
C(x) = 300 + 50x (nur diese)

Was ist OP?

Muß das dann so aussehen?

G’(x) = U’(x) - K’(x)
Also wenn ich das in die Gleichung einsetze:

R(x) = (U’(x) - K’(x) * C(x) - U(x) - K(x) * C(x)) / C(x)^2

Das wird ja ein riesen ding…

Wenn ich da die Werte einsetze:

(-0,2x +13 - 2x) * 50x + 300 - (-0,1x^2 + 13x - 2x +10) * 50x + 300

und das ganze Ungetüm dann auch noch durch

(50x + 300)^2

??

Also ich glaub das kann ich nicht lösen…

Ist das wirklich so?
Hab ich irgendwo einen Denkfehler?

Gruß Sven

Ingo_von_Borstel · 27. November 2006 um 20:24

Danke für die schnelle Antwort.
Also G(x) ist:

U(x) = 13x - 1/10 x^2
K(x) = 10 + 2x
C(x) = 300 + 50x
G(x) = U(x) - K(x) = 13x-x^2/10-10-2x = x^2/10+11x-10

Also einzeln ableiten, um dann unten einzusetzen:
U’(x) = 13 - 1/5 x
K’(x) = 2
C’(x) = 50
G’(x) = U’(x) - K’(x) = 13 - 1/5 x - 2 = 11 - 1/5 x

R’(x) = (G’(x) * C(x)-G(x) * C’(x)) / C(x)^2 = 0

Ich habe zwar Abi, hab aber tatsächlich noch nie gesehen
das man eine Ableitung so schreibt… Ich kenne das nur mit
einem Strich… also U’(x) zum Beispiel.

Kann ich mir vorstellen. In der Schule leitet man immer nur nach x ab, da muß man nicht extra kennzeichnen, wonach man ableitet. Die Schreibweise d/dx f(x,y,z,…) hat den Vorteil, daß man gleich sieht wonach die Funktion f abgeleitet werden soll.

R’(x) = (G’(x) * C(x)-G(x) * C’(x)) / C(x)^2 = 0

noch keine Ahnung was ich da jetzt einsetzen soll oder wie ich
so was auflöse…

Obige Formeln einsetzen:

R’(x) = ((11-x/5)*(300+50x) - (x^2/10+11x-10)*(50)) / (300+50x)^2

Den Schladderadatsch etwas vereinfachen durch ausmultiplizieren sieht in etwa so aus (irgendwo, glaube ich, ist ein Fehler drin beim Zusammenfassen):

R’(x) = (-15x² - 6x + 830) / (50x + 300)²

Wir suchen das Maximum von R, also eine Nullstelle dieser Ableitung. Dafür können wir den Nenner ignorieren und brauchen nur den Zähler über dem Bruchstrich betrachten (ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist, egal was der Nenner sagt)

Da bekommst Du dann eine Gleichung a la
a x² + bx + c = 0 bzw. mittels Division durch a
x² + p x + q = 0

Die Lösung ist dann x = -p/2 +/- Wurzel( (p/2)² - q)

Beim Einsetzen und Umformen immer auf die Vorzeichen achten…!

Dieses x ist derjenige Wert für den x maximal (oder minimal) wird. Dieses x in R(x) (nicht die Ableitung!) einsetzen - voila!

Gruß,
Ingo