Hi zusammen!
Ich hab da eine Aufgabe an der ich mir die zähne ausbeisse. ich komm einfach nicht weiter:
„In einer Kugel mit einem Halbmesser (sic!) von 8cm soll ein Zylinder mit grösstmöglichem Volumen plaziert werden. wie gross ist dieses Volumen.“
ich hab mit kugelvolumen 4/3Pi*r^3, mit zylindervolumen, mit flächen rumgerechnet…ich komm einfach nicht drauf
Kann mir jemnd helfen?
gruss
steffen
hmmmm…
hallo.
ich denk mal, es is so gemeint, daß die zylinderachse mit der kugelachse zusammenfällt.
dann mach doch einfach mal nen schnitt durch diese achse. du kriegst nen halbkreis (der den kugelradius (oder halbmesser) hat) mit nem rechteck drin.
in diesem fall suchst du das rechteck mit der maximalen fläche.
die fläche is A=a*b. a^2+b^2=r^2.
damit kriegst A=a^2*(r^2-a^2)
und daraus A=a^2*r^2-a^4
für die maximale fläche bildest die ableitung nach a:
2*a*r^2-4*a^2
und setzt die 0: 2*a*r^2-4*a^2=0,
oder 2*a^2-a*r^2 = 0
das is ne ganz normale quadratische gleichung. da solltest zwei plausible (positive und kleiner als r) a’s rauskriegen. diese a sind deine zylinderradien. die zylinderhöhe is 2*b. und das volumen is ja dann kein problem mehr 
gruß
michael
der hofft, sich net vertan zu haben.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi,
Skizziere Dir einen senkrechten Schnitt durch die Dose, Rechteck im Kreis mir Radius=Halbmesser, mit dem Pythagoras erh"alst Du eine Beziehung zwischen Dosenradius und Dosenh"ohe, dann fleissig lokale Extrema berechnen, Randpunkte pr"ufen,…
Ciao Lutz
Hallo,
Loesungsvorschlag wenn R = Radius der Kugel und Vz = Volumen des Zylinders.
Vz = r² pi h
h = 2 R sin§
r = R cos§
Vz = 2 pi R³ cos²§ sin§
Vz = 2 pi R³ [sin§ - sin³§]
dVz/dp = dVz/dsin§ dsin§/dp
dVz/dp = dVz/dsin§ cos§ => dVz/dsin§ = 0
dVz/dsin§ = 2 pi R³ [1-3sin²§] => sin§ = sqrt(1/3)
hmax = 2 R sqrt(1/3)
r = R sqrt(1-sin²§) = R sqrt(2/3)
CU
Hi zusammen!
Ich hab da eine Aufgabe an der ich mir die zähne ausbeisse.
ich komm einfach nicht weiter:
„In einer Kugel mit einem Halbmesser (sic!) von 8cm soll ein
Zylinder mit grösstmöglichem Volumen plaziert werden. wie
gross ist dieses Volumen.“
ich hab mit kugelvolumen 4/3Pi*r^3, mit zylindervolumen, mit
flächen rumgerechnet…ich komm einfach nicht drauf
Kann mir jemnd helfen?
Hallo Steffen,
Ich habe mir das erstmal in Flaechen vorgestellt, also ein Kreis in dem sich ein Rechteck befindet, dessen Ecken den Kreis beruehren. Schon rein anschaulich ist dieses Rechteck dann am groessten, wenn seine Seitenlaengen gleich sind. Von diesem Quadrat kenne ich die Diagonale (16cm) und nach Pythagoras(?) dann auch die Seitenlaengen (11,31cm). Also hat der Zylinder den Radius 5,65cm; mit A=Phi*r² ist seine Grundflaeche 100,53cm² multipliziert mit seiner Hoehe 11,31cm ergibt 1137cm^3
Gruss Marcus
Maximum Schnittfl"ache != Maximum Volumen
Lutz
Hallo Steffen
also probieren wirs mal
Zylindervolumen V = r²*pi*h
r = Zylinderradius
h = Zylinderhöhe
R = Kugelradius
nach Phytagoras : r² = R² - h²/4 (1)
einsetzen
V = ( R²- h²/4 ) * pi * h
V = R² x pi x h - h³ * pi / 4
Die erste Ableitung einer Funktion ergibt die Steigung dieser Kurve
Maximal- bzw. Minimalwerte haben die Steigung 0
V´ = R² * pi - 3 * h² * pi / 4
Nebenbedingung: h>0 und h[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Maximum Schnittfl"ache != Maximum Volumen
Lutz
aber V=r^2*pi*h
und A=2*r*h
also V=(A/2)*r*pi
je größer die schnittfläche, umso größer is auch das volumen.
oder?
fragt
michael
der sich doch net wirklich vertan haben wird? *fürcht*