In meine Übungsaufgabe gilt es den
lim(n-> positiv unendlich) von Zn
zu bestimmen wobei Zn = An + iBn für alle n aus den natürlichen Zahlen ist. Auserdem gilt :
An+1 = (An-Bn)/2
und
Bn+1 = (An+Bn)/2
Ich habe keinerlei Ansatz…Außerdem gilt es zu zeigen das für alle natürlichen zahlen gilt:
(und hier wirds mit dem aufschreiben verwirrend…)
Zn= 2^(-n/2)e^(iπ(n/4)
Falls irgendjemand irgendwas weis dann würde ich mich sehr über Hilfe freuen…=)
Hallo seeed, positiv unendlich) von Zn
zu bestimmen wobei Zn = An + iBn für alle n aus den
natürlichen Zahlen ist. Auserdem gilt :An+1 = (An-Bn)/2
und
Bn+1 = (An+Bn)/2
Der Trick ist Zn+1 durch Zn auszudrücken.
Z_{n+1}=A_{n+1}+iB_{n+1}=\frac{A_n-B_n}{2}+i\frac{A_n+B_n}{2}
=\frac{1}{2}\left(A_n-B_n+i\left(A_n+B_n\right)\right)=\frac{1}{2}\left(A_n+iB_n+i\left(A_n+iB_n\right)\right)
=\frac{1}{2}\left(Z_n+iZ_n\right)=\frac{1}{2}Z_n(1+i)=Z_n\left(\frac{1+i}{2}\right)
Daraus folgt durch vollständige Induktion
Z_n=Z_0\left(\frac{1+i}{2}\right)^n
Damit sollte die Aufgabe für dich lösbar sein.
Viel Erfolg,
hendrik