Hochzahlen

Wissenschaft Physik
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Ich möchte allen ein zufriedenes und erfülltes Neues Jahr wünschen.

Vor einiger Zeit war ich im Science-Museum in South Kensington. Dort fand ich ein Hinweisschild über die Schreibweise von Hochzahlen. Da wurde auch beschrieben, dass man mit dieser Schreibweise auch die Zahl aller Atome im Universum schreiben könnte. Wer-weiss-hier-Bescheid? Weiß man auch, wie viel Sandkörner in der Sahara liegen? Ich würde dies gern meinen Enkeln erzählen, denn die wohnen am Rande der Sahara und da fahre ich hin.

Mit Gruß, Alexander

2

Hallo Alexander,

eine sehr grobe Schätzung:
Man kann im Universum in jede Richtung etwa 15 Milliarden Lichtjahre weit sehen. Das nehmen wir als Radius eine Kugelförmigen Weltalls an.
Ein Lichtjahr sind etwa 315000000 Lichtsekunden.
1 Lichtsekunde sind etwa 300000 km = 300000000 m
Damit beträgt der Radius:
15000000000 * 315000000 * 300000000 m = 1,4*10^27 m
Das Volumen einer Kugel beträgt 4/3 * pi * r^3
Das Voolumen des Weltalss also:
V= 1,15*10^82 m^3
Im größen und ganzen befindet sich ein Atom in jedem Kubikmeter Volumen. Es gibt also grob geschätzt 10^82 Atome im Universum.
Die Zahl ist nicht sehr groß, man kann sie sogar auf einem Taschenrechner darstellen.
Die größte in der Mathematik genutzte Zahl heißt „Grahams Number“. Sie ist iterativ definiert und so groß, das alle Atome des Universums nicht für die Tinte reichen würden, sie in herkömmlicher (Hoch-)Schreibweise hinzuschreiben.

Max

3

Es gibt einfach verschiedene Arten eine Zahl zu schreiben. Die geläufigste unter „Normalbürgern“ ist die, das man einfach alle Ziffern der Zahl hintereinander schreibt.
Wenn die Zahlen aber sehr groß werden wird die leicht unübersichtlich. Da haben die Mathematiker sich ausgedacht, daß man die Zahlen auch in anderen Formaten schreiben kann. Die Schreibweise in Hochzahlen (Potenzschreibweise) ist für große Zahlen besser geeignet.
Wie viele Sandkörner in der Sahara liegen kann man am ganz gut abschätzen wenn man so vorgeht wie im folgenden Artikel mit den Atomen im weltall beschrieben.

Gruß Michael

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4

Man sollte an dieser Stelle nicht unerwähnt lassen, dass es dank der Potenzschreibweise auch möglich ist, extrem kleine Zahlen elegant aufzuschreiben, z.B. ein Billionstel = 10 hoch minus 12. In Dezimalschreibweise müsste man 0,000000000001 schreiben. Da müsste man viel mehr die Hand bewegen, und ausserdem ist die Gefahr viel grösser, dass man sich dabei auch noch verhaut.

Abgesehen davon, dass es sich bereits bei Positionssystemen wie dem Dual-, Dezimal- oder Hexadezimalsystem um geniale Konstruktionen handelt, fehlen einem glatt die Worte, wenn man unter diesem Gesichtspunkt einmal die Potenzschreibweise, die dafür definierten Rechengesetze und die daraus abgeleitete Logarithmenrechnung betrachtet.

Diese in der Mathematik verborgene Schönheit kann von manchen Lehrern anscheinend gar nicht vermittelt werden, weil sie ihnen nicht vermittelt wurde, und so wirken diese Dinge auf viele Menschen nur wie eine Last. Ich finde das schade.

Torsten

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5

Hallo Alexander,

Im größen und ganzen befindet sich ein Atom in jedem
Kubikmeter Volumen. Es gibt also grob geschätzt 10^82 Atome im
Universum.

Die von Max durch eine gute Schätzrechnung ermittelte Zahl wird auch in der einschlägigen Literatur angegeben. Dort ist sie dann 10^80 groß.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander Berresheim

6

Hallo!

Die größte in der Mathematik genutzte Zahl heißt „Grahams
Number“. Sie ist iterativ definiert und so groß, das alle
Atome des Universums nicht für die Tinte reichen würden, sie
in herkömmlicher (Hoch-)Schreibweise hinzuschreiben.

Jetzt hast du mich neugierig gemacht: Wofür zum Teufel braucht man diese Zahl???

greetings,
Markus

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7

Hi,

ich erinnere mich nicht mehr genau. Aber ich versuchs mal.
Manche geometrischen Objekte haben in verschiedenen Dimensionen unterschiedliche Eigenschaften.
Insbesondere gelten oft in höheren Dimensionen bestimmte Gleichungen nicht mehr, die in niedrigeren gelten.
Für eine Klasse von solchen Problemen (um welche es sich genau handelt habe ich vergessen. ich glaube es waren Eigenschaften von n-dimensionalen Würfel) wusste man es nicht genau.
Man vermutete aber, das die Eigenschaften nur bis zur Dimension 3 gelten.
Graham hat nun 2 Dinge nachgewiesen.
1: Es gibt eine maximale Dimension, bis zu der die Eigenschaften gelten. Für höhere DImensionen gelten sie nicht.
2. Er konnte diese Dimension nicht angeben, konnte aber zeigen daß sie kleiner ist als besagte Grahams number.

Grahams number selbst ist hyperexponentiel definiert.
Dazu definiert man zunächst den „Dachoperator“ ^.
Sei nun ** der Hochoperator (also z.B: 2**3 = 2 hoch 3 = 8).
Dann ist der Dachoperator wie folgt definiert.
3^3 = 3**3 = 27
3^^3 = (3^3)^(3^3) = 27 ** 27 = 4,43 * 10 **38
3^^^3=(3^^3)^(3^^3)=(4,43*10**38)**(4,43*10**38)
3^^^^3=(3^^^3)^(3^^^3)= schon ganz schön groß.
An dieser Stelle wird erstmal pausiert. Dann wird der Dachoperator nocheinmal 64mal darauf losgelassen (wie ganz genau weiss ich nicht mehr).
Das Ergebnis ist dann Grahams number

Max

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8

Hallo.

Ich weiß, daß das folgende ein gewisses Risiko birgt, als ein bißchen schräg angesehen zu werden. Das macht mir aber nichts aus.

Als Teenager (das ist nun schon einige Jahre her) ist mir plötzlich folgendes eingefallen:

Es muß eine größte Zahl geben - viel grösser z. B. als die Zahl aller im Kosmos vorhandenen Elementarteilchen, nämlich die ZAHL ALLER MÖGLICHKEITEN. Weiterhin fiel mir ein: Wenn jemand diese Zahl oder eine größere Zahl in irgendeiner Form schriftlich darstellen oder aussprechen sollte (dabei dachte ich auch an die Potenzschreibweise), dann gibt es eine gigantische Explosion.

Ich weiß selbst nicht, was ich davon halten soll, möchte aber diesen Gedanken hier wenigstens einmal festhalten.

Torsten

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Holla

Ich weiß, daß das folgende ein gewisses Risiko birgt, als ein
bißchen schräg angesehen zu werden. Das macht mir aber nichts
aus.

Och, so schraeg finde ich die Ueberlegungen garnicht :smile:

Es muß eine größte Zahl geben - viel grösser z. B. als die
Zahl aller im Kosmos vorhandenen Elementarteilchen, nämlich
die ZAHL ALLER MÖGLICHKEITEN. Weiterhin fiel mir ein: Wenn

Hm, mal ueberlegen…
Nehmen wir mal an, die Zahl der Atome waere wirklich 10^80 und die Atome waeren die kleinste Einheit. Dann gaebe es an Moeglichkeiten erstmal „Zustaende“ eines einzelnen Atoms (z.B. Ausrichtung und innere Zustaende). Dazu kommen dann die Moeglichkeiten, die Atome zueinander anzuordnen. *gruebel* Diese Zahl waere aber nur beschraenkt, wenn das Universum unendlich gross ist, sonst koennte man ja einfach das Atom Nummer X einfach ein bischen weiter „weg“ schieben.

So, und nun das Atom, es ist ja nicht unteilbar und es besteht eine Wechselwirkung zwischen den Atomen und auch zwischen anderen Elementarteilchen. Ist die Gesamtenergie im Universum begrenzt gross? Dann sind vielleicht auch die Anzahl und Zustaende aller Teilchen begrenzt und es gaebe eine obere Schranke…

Das Ganze gilt natuerlich nur, wenn es eine kleinste Einheit gibt, ich also z.B. ein Atom nicht um einen beliebig kleinen Betrag „veraendern“ kann. Aber so eine kleinste Wirkungseinheit haben wir ja.
Sieht bis jetzt ja noch ganz gut aus :smile:

Aber jetzt kommt ja noch die Zeit ins Spiel… Ist die Zeit begrenzt? Gibt es ein Anfang und Ende? Und da befuerchte ich, hoert es auf, irgendeine Abfolge von „Zeit“ wird es wohl immer geben, und damit auch eine unbegrenzte Anzahl von Zustaende, die sich durch das „wann“ unterscheiden…

(Das ganze ist natuerlich sehr materialistisch gesehen, und geht davon aus, das alles (z.B. auch Gedanken, Seele usw.) durch physikalische Eigenschaften beschrieben werden kann)

jemand diese Zahl oder eine größere Zahl in irgendeiner Form

Ups, eine groessere Zahl? Die kann es per Definition nicht geben, denn das waere ja wieder eine Moeglichkeit, etwas anders anzuordnen: „Tinte auf einem Blatt Papier“ oder „Anregungszustaende in einem Gehirn“.

schriftlich darstellen oder aussprechen sollte (dabei dachte
ich auch an die Potenzschreibweise), dann gibt es eine
gigantische Explosion.

Ok, das mit dem nicht so schraeg nehme ich wieder zurueck *ggg*

Auch nur mal so vor sich hingedacht…
Gruss, Lutz

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10

Holla

Ich weiß, daß das folgende ein gewisses Risiko birgt, als ein
bißchen schräg angesehen zu werden. Das macht mir aber nichts
aus.

Och, so schraeg finde ich die Ueberlegungen garnicht :smile:

ja

Es muß eine größte Zahl geben - viel grösser z. B. als die
Zahl aller im Kosmos vorhandenen Elementarteilchen, nämlich
die ZAHL ALLER MÖGLICHKEITEN. Weiterhin fiel mir ein: Wenn

Hm, mal ueberlegen…
Nehmen wir mal an, die Zahl der Atome waere wirklich 10^80 und
die Atome waeren die kleinste Einheit. Dann gaebe es an
Moeglichkeiten erstmal „Zustaende“ eines einzelnen Atoms (z.B.
Ausrichtung und innere Zustaende). Dazu kommen dann die
Moeglichkeiten, die Atome zueinander anzuordnen. *gruebel*
Diese Zahl waere aber nur beschraenkt, wenn das Universum
unendlich gross ist, sonst koennte man ja einfach das Atom
Nummer X einfach ein bischen weiter „weg“ schieben.

ob das Universum unendlich gross ist und sich Atom Nr. X in jeder Ausgangssituation einfach ein bißchen weiter wegschieben (wegdenken) ließe, hinge dann wohl von der „Zahl aller Möglichkeiten“ auch mit ab

Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c scheint mir ein Fingerzeig in diese Richtung zu sein

So, und nun das Atom, es ist ja nicht unteilbar und es besteht
eine Wechselwirkung zwischen den Atomen und auch zwischen
anderen Elementarteilchen. Ist die Gesamtenergie im Universum
begrenzt gross? Dann sind vielleicht auch die Anzahl und
Zustaende aller Teilchen begrenzt und es gaebe eine obere
Schranke…

ja

Das Ganze gilt natuerlich nur, wenn es eine kleinste Einheit
gibt, ich also z.B. ein Atom nicht um einen beliebig kleinen
Betrag „veraendern“ kann. Aber so eine kleinste
Wirkungseinheit haben wir ja.
Sieht bis jetzt ja noch ganz gut aus :smile:

ja

Aber jetzt kommt ja noch die Zeit ins Spiel… Ist die Zeit
begrenzt? Gibt es ein Anfang und Ende? Und da befuerchte ich,
hoert es auf, irgendeine Abfolge von „Zeit“ wird es wohl immer
geben, und damit auch eine unbegrenzte Anzahl von Zustaende,
die sich durch das „wann“ unterscheiden…

(Das ganze ist natuerlich sehr materialistisch gesehen, und
geht davon aus, das alles (z.B. auch Gedanken, Seele usw.)
durch physikalische Eigenschaften beschrieben werden kann)

jemand diese Zahl oder eine größere Zahl in irgendeiner Form

Ups, eine groessere Zahl? Die kann es per Definition nicht
geben, denn das waere ja wieder eine Moeglichkeit, etwas
anders anzuordnen: „Tinte auf einem Blatt Papier“ oder
„Anregungszustaende in einem Gehirn“.

schriftlich darstellen oder aussprechen sollte (dabei dachte
ich auch an die Potenzschreibweise), dann gibt es eine
gigantische Explosion.

Ok, das mit dem nicht so schraeg nehme ich wieder zurueck
*ggg*

Würde in diesem Moment ein neues Universum entstehen mit einer neuen Zahl von Möglichkeiten ?

Insofern wäre die die „Zahl aller Möglichkeiten“ lediglich universumsbezogen und würde zum Preis der Widersprüchlichkeit auch das Tor zu Neuem beinhalten.

Auch nur mal so vor sich hingedacht…
Gruss, Lutz

Gruss, Torsten

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Hallo,
er Zünder der gigantischen Explosion heißt +1
Alex