Hallo!
Zitat "Mein Ansatz lautet folgendermaßen (gekürzt):
Fg=FAuftrieb
m(Ballon)+100kg = V(Ballon)*Rho(Luft)"
So weit okay.
„p0*M(He)+100kg = M(Luft)*ph“
Das möchte ich bezweifeln. p0*M(He) ist Druck mal Masse, also keine Masse mehr.
Das kann man nicht sinnvoll mit 100kg addieren.
…
Mal sehen, ich würde das so machen:
d=10m => r=5m
V=4/3*pi*r^3
m(He) = rho(He)*V
In Zahlen:
V= 523,6 m^3.
m(He) = 0,179 kg/m^3 * V = 93,7 kg
m = m(He)+100kg = 193,7 kg
Das bleibt konstant, wenn der Ballon steigt. Übrigens muss man dazu die Hülle
eigentlich nicht vernachlässigen, sie ist eben in den 100kg enthalten.
In der Zielhöhe trägt der Auftrieb den Ballon gerade noch, also
FG = FAuftrieb.
FG = m*g
FAuftrieb = mLuft*g = rho(Luft,h)*V*g
V ändert sich nicht, da der Ballon starr sein soll.
Höhenformel (die Dichte nimmt nach dem gleichen Gesetz ab wie der Druck):
rho(Luft,h) = rho(Luft,0) * exp(-rho(Luft,0)*g*h/p(0))
Folglich eingesetzt:
( rho(He)*V+100kg )*g = rho(Luft,0) * exp(-rho(Luft,0)*g*h/p(0)) * V * g
g kürzen:
rho(He)*V+100kg= rho(Luft,0) * exp(-rho(Luft,0)*g*h/p(0)) * V
Auflösen nach h:
(rho(He)*V+100kg)/(rho(Luft,0)*V) = exp(-rho(Luft,0)*g*h/p(0))
Logarithmieren:
ln ((rho(He)*V+100kg)/(rho(Luft,0)*V)) = -rho(Luft,0)*g*h/p(0)
Umstellen:
h = -p(0)/(rho(Luft,0)*g) * ln ((rho(He)*V+100kg)/(rho(Luft,0)*V)
Zahlen einsetzen:
p(0) = 1 atm = 100000 Pa; rho(He) = 0,179 kg/m^3; rho(Luft,0) = 1,29 kg/m^3; g = 9,8 N/kg.
Ergibt (ich lass mal die Maßeinheiten weg):
h in m = -100000/(1,29*9,8) * ln((193,7/(1,29*523,6)) = 9880.
also h = 9880 m.
Stimmt nicht ganz mit deinem Endwert überein, aber das kann an meinen
Zahlenwerten liegen (g = 9,8 N/kg und 1 atm = 1000 hPa, was ja nicht exakt stimmt,
und die Dichte von Luft bei 20 Grad ist vermutlich auch nicht genau 1,29 kg/m^3).
Zitat: "Hmm nach nem anderen Lösungsweg hatte ich gestern das richtige raus. Nur hab ich
das Blatt verlegt und weiß nur noch die Formel, die ich am Ende hatte:
ph/p0 = M(He)/(V(Ballon)*p0+100kg)"
Die kann nicht stimmen, siehe oben.
Zitat „Jetzt meine Frage: Wie muss ich umstellen, dass ich auf das richtige Ergebnis
von h = 10432,12m komme, nachdem ich ph/p0 in die Barometrische Höhenformel
eingesetzt habe? Hab die Lösung da nur hab ich absolut keine Ahnung, wie ichs
angehn soll. Eine verständliche Antwort wäre super!“
Ich habe oben eine Lösung vorgeschlagen. Aber wie man eine falsche Formel so
umstellt, dass das Richtige rauskommt, kann ich dir auch nicht sagen.
Übrigens finde ich die Aufgabe als solche absolut hirnrissig. Die geht völlig
an der Realität vorbei. Einen starren Ballon lässt man nicht in 10km Höhe aufsteigen,
die Helium-gefüllten Wetterballons haben eine Latex-Hülle und dehnen sich beim
Aufstieg mit aus. Die enden daher auch nicht dort, wo die Luft sie gerade noch
trägt, sondern dort, wo die Hülle platzt. Ebenso absurd ist es, für die ganze
Atmosphäre von Null bis 10km eine konstante Temperatur anzunehmen. Dann könnte
man mit der gleichen Berechtigung auch annehmen, dass die Dichte der Luft von
Null bis 10 km Höhe konstant ist. Mit anderen Worten, das muss eine von diesen
aus den Fingern gesogenen Rechenaufgaben sein, die nur so tun, als wenn sie
anwendungsbezogen sind, aber sie sind es nicht.
Na ja, ich hab mein Bestes getan.
So long
Eckard C.
