Hallo,
von einem Dreieck sind die drei Seiten a=6, b=4 und c=8 gegeben.
Wie berechne ich die Höhe h über c? Ich komme nicht auf einen Ansatz (Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz …?).
Wer hilft mir mit einem Stichwort?
Danke
Manfred
Hallo,
ich würde das über die Sätze des Eukild machen. Ist schon ne Weile her. Aber die Höhe teilt die Seite c in zwei Stücke, nennen wir sie m und n. Dabei sei m anliegend an die Seite a und n anliegend an die Seite b. Dann gilt:
h² = m * n, a² = m * c und b² = n * c
Damit hast Du’s dann:
h² = a²/c * b²/c
Gruß
Fritze
Hallo Fritze,
gilt das nicht nur für rechtwinklige Dreiecke?
Ich suche eine Lösung für beliebige Dreiecke.
Gruß
Manfred
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Hallo!
von einem Dreieck sind die drei Seiten a=6, b=4 und c=8
gegeben.
Wie berechne ich die Höhe h über c? Ich komme nicht auf einen
Ansatz (Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz …?).
Wer hilft mir mit einem Stichwort?
Ich glaub ich habs. Mit ner Kombination von Pythagoras und Höhensatz gehts:
h²=p*q
p+q=8 8-q=p Das in 1. Gleichung einsetzen:
h² = q*(8-q) = 8q - q²
Die Höhe teilt das Dreieck in 2 rechtwinklige Dreiecke ein, für die Pythagoras gilt:
h² + q² = 6² obere Gleichung hier einsetzen:
8q - q² + q² =36
8q=36
q=4,5
h²= 8* 4,5 - 4,5²
Zum in den Taschenrechner eintippen und wurzelziehen bin ich jetzt zu faul (-:
Grüße
Jojo
Ich glaub ich habs. Mit ner Kombination von Pythagoras und
Höhensatz gehts:h²=p*q
p+q=8 8-q=p Das in 1. Gleichung einsetzen:h² = q*(8-q) = 8q - q²
Der Höhensatz gilt doch nur für ein rechtwinkliges Dreieck.
Geht also nicht.
Die Höhe teilt das Dreieck in 2 rechtwinklige Dreiecke ein,
für die Pythagoras gilt:
Das stimmt. Aber die Voraussetzung stimmt nicht, siehe oben.
h² + q² = 6² obere Gleichung hier einsetzen:
8q - q² + q² =36
8q=36
q=4,5h²= 8* 4,5 - 4,5²
Zum in den Taschenrechner eintippen und wurzelziehen bin ich
jetzt zu faul (-:
Ich habs gemacht. Ergebnis wicht von meiner Zeichnung um 2 cm ab.
Gruß
Manfred
Hallo,
gilt das nicht nur für rechtwinklige Dreiecke?
Ich suche eine Lösung für beliebige Dreiecke.
Ach du Schande, da hast Du recht. Allgemein geht es über Sinus- und Kosinussatz (ähnlich wie oben). Es gilt, o.B.d.A (bei üblicher Bezeichnung des Dreiecks):
h_a = b * sin(G) = c * sin(B)
Jetzt brauchst Du noch den Winkel G oder B. Die bekommst Du über den Kosinussatz, z.B.:
cos(G) = (a² + b² - c²)/(2ab)
Gruß
Fritze
Hallo!
von einem Dreieck sind die drei Seiten a=6, b=4 und c=8
gegeben.
Wie berechne ich die Höhe h über c? Ich komme nicht auf einen
Ansatz (Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz …?).
Wer hilft mir mit einem Stichwort?
Ich würde das wie folgt machen:
Zunächst die Definition der Seiten: a ist die linke, b die rechte Kathete. Die Höhe h teilt die Hypothenuse c in die Teilstrecken p (links) und q (rechts). Man erhält nun 2 rechtwinklige Dreiecke, in denen gilt
a²=p²+h² (1) und b²=q²+h² (2)
Weiterhin gilt c=p+q. Das stellen wir nach p um und quadrieren:
p=c-q --> p²=(c-q)²=c²-2pq+q²
Das setzen wir in (1) ein und erhalten: a²=c²-2cq+q²+h² (3)
Nun stellt man (2) zunächst nach q um:
q²=b²-h² --> q=sqrt(b²-h²)
Das in Gleichung (3) einsetzen, wodurch sich
a²=c²-2c(sqrt(b²-h²))+b²-h²+h²
Jetzt kürzen und nach h umstellen:
sqrt(b²-h²)=(c²+b²-a²)/2c
h²=[(c²+b²-a²)/2c]²-b²
Zum Schluss die Wurzel ziehen. Die Gleichungen gelten für jedes Dreieck.
mfG Dirk
Hallo Dirk,
Ich würde das wie folgt machen:
Zunächst die Definition der Seiten: a ist die linke, b die
rechte Kathete. Die Höhe h teilt die Hypothenuse c in die
Teilstrecken p (links) und q (rechts). Man erhält nun 2
rechtwinklige Dreiecke, in denen gilt
a²=p²+h² (1) und b²=q²+h² (2)
…
Das habe ich auch zuerst so gemacht. Leider stimmte das Ergebnis nicht mit meiner Zeichnung überein, denn o.a. gilt für rechtwinklige Dreiecke, habe ich aber bei meinen Werten nicht.
Alle Lösungen mit Sinus, Cosinus, Tangens … scheiden aus taktischen Gründen aus (war nämlich noch nicht dran).
Es muss doch möglich sein, eine Höhe in einem beliebigen Dreieck mit drei gegebenen Seiten zu berechnen (auf einfache Art). Ich habe aber keine Idee…
Gruß
Manfred
Korrektur
sqrt(b²-h²)=(c²+b²-a²)/2c
h²=[(c²+b²-a²)/2c]²-b²
Da hat offenbar der fehlerteufel sein Werk getan.
Es müsste natürlich heißen:
h²=b²-[(c²+b²-a²)/2c]²
mfG Dirk
Hallo
Das habe ich auch zuerst so gemacht. Leider stimmte das
Ergebnis nicht mit meiner Zeichnung überein, denn o.a. gilt
für rechtwinklige Dreiecke, habe ich aber bei meinen Werten
nicht.
Wenn ich es berechne, so erhalte ich für h=2,9…
Ich habe es auch soeben mal gezeichnet und es funktioniert, auch hier ergibt sich eine Höhe von 2,9.
Da eine Höhe immer senkrecht auf einer Seite steht, teilt sie jedes Dreieck, auch ein nicht rechtwinkliges, in zwei rechtwinklige Dreiecke. Der Satz des Pythagoras ist dann immer anwendbar.
Es muss doch möglich sein, eine Höhe in einem beliebigen
Dreieck mit drei gegebenen Seiten zu berechnen (auf einfache
Art).
Ich habe sie dir ja aufgezeigt.
mfG Dirk
Die Lösung
Ich Hab’s!
Die Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Das linke Dreieck hat dann die Seiten a, h, x,
das rechte Dreieck hat die Seiten b, c-x, h (jeweils im Uhrzeigersinn gesehen).
Daraus ergeben sich folgende Formeln:
I h²=16-x²
II h²=36-(8-x)²
I => x=44/16
x in II => h=2,9 (und das stimmt mit meiner Zeichnung überein!)
Vielen Dank an alle Mitdenker
Gruß
Manfred
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Hallo Dirk,
ich bitte um Entschuldigung. Ich habe deine Antwort nicht richtig gelesen (schäm). Du hast recht.
Gruß
Manfred
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Hallo Manfred,
ich denke es sit gar nicht schwer:
Die Höhe auf c teilt die Seite c in die Abschnitte p und q. Es entstehen durch die Höhe zwei rechtwinklige Dreiecke a,h,p und b,h,q. Somit ist h²=a²-p² und h²=b²-q² möglich.
Durch Gleichsetzung erhältst du a²-p²=b²-q². Jetzt musst du statt q den Wert (c-p) einsetzen. Jetzt kannst du p errechnen.
Die Höhe ergibt sich aus dem Pythagoras mit a,p und h.
Zur Probe kannst du das Gleiche über q rechnen.
Gruß
Jörg Zabel
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Sorry, da war ich eineige Minutenzu spät.
Gruß
Jörg Zabel
Alternative Lösung
Guten Abend
Ein weiterer Lösungsweg ist das Gleichsetzen der beiden Flächenformeln für das Dreieck.
A=c\*h<sub>c</sub>/2
und als zweite Formel den Satz des Heron mit dem man aus den drei Seiten eines Dreiecks seinen Flächeninhalt berechnen kann.
A=root[s\*(s-a)\*(s-b)\*(s-c)] mit s=(a+b+c)/2
Bedeutung der Zeichen:
A…Flächeninhalt
hc…Höhe auf c
root[…]…Wurzel aus…
s…Halber Umfang des Dreiecks
a,b,c…Seiten des Dreiecks
Einen schönen weiteren Abend wünscht euch Alex
da sieht man mal wieder …
… ständig hantieren wir mit hochkomplexen Gleichungen und Zusammenhängen herum, aber so eine harmlose Frage aus der ebenen Geometrie bringt einen ins Schlingern 
Lustig wie viele sich hier (mich eingeschlossen) korrigieren mussten. Was mich allerdings stört, sind die fehlenden „Constraints“ wie „aber nichts mit Sinus …“, die nicht von vornherein angeben werden.
Bleibt mal wieder festzustellen: Es führen viele Wege zum Ziel.
Gruß
Fritze