Homo-,Iso-,Automorphismus Aufgaben

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
Welche der folgenden Abbildungen sind Homo-,Iso- bzw. Automorphismen?

a) f1: (R²,+)->(R,+), f1(x,y) = 3x-4y

b) f1: (R²,+)->(R,+), f1(x,y) = 2+3x-4y

c) f1: (R²,+)->(R²,+), f1(x,y) = (y,y)

d) f1: (R²,+)->(R²,+) = f1 (x,y)= (2x+y,x-y)

Bestimmen Sie gegebenenfalls jeweils den Kern von f1.

Komme mit dieser Aufgabe nicht richtig zurecht. Ich kenne zwar die Definitionen von Homo-, Iso-, und Automorphismen, aber ich weiß dass nicht auf die Aufgabe anzuwenden. Es wäre gut, wenn jemand so nett wäre und die a) mal als Beispiel vorrechnet, damit ich verstehe, wie das funktioniert.

#2

Hallo,

dann sehen wir uns mal die erste Aufgabe an:

Ein Homomorphismus ist eine Abbildung die ich mit der Verknüpfung der jeweiligen Strukturen vertauschen kann. Das heißt, ich kann entweder zuerst zwei Elemente a und b des R² addieren und dann auf das Ergebnis f1 anwenden, oder ich wende zuerst f1 auf a und b an und addiere die Ergebnisse dann (in R). Wenn f1 ein Homomorphismus ist, muss jeweils das gleiche herauskommen.
Sei also a = (xa,ya) und b=(xb,yb).
Dann ist a+b = ([xa+xb],[ya+yb])

f1(a) = f1(xa,ya) = 3xa-4ya
f1(b) = f1(xb,yb) = 3xb-4yb
f1(a+b) = f1([xa+xb],[ya+yb]) = 3[xa+xb]-4[ya+yb]
= 3xa + 3xb - 4ya - 4yb
= 3xa - 4ya + 3xb - 4yb
= (3xa-4ya) + (3xb-4yb)
= f1(xa,ya) + f1(xb,yb)
= f1(a) + f1(b)
Das beweist, erst addieren und dann f1 anwenden (= f1(a+b)) ist identisch mit erst f1 anwenden und dann addieren (= f1(a)+f1(b)). Also handelt es sich um einen Homomorphismus.

Die nächsten beiden Aufgaben lassen sich meist ohne viel Rechnen beantworten:

Isomorphismus: Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion existiert und ebenfalls ein Homomorphismus ist.
Hier sieht man recht leicht, dass f1 schon gar nicht bijektiv ist, da ich mehrere Belegungen für x und y finden kann, die alle von f1 auf den selben Wert abgebildet werden, zum Beispiel:
f1(0,-1) = 3*0-4(-1) = 0+4 = 4
f1(4,2) = 3*4-4*2 = 12-8 = 4, usw.
Man hätte hier auch einfach sehen können, dass der R² eine Dimension mehr hat als R, folglich verliere ich durch die Anwendung von f1 Informationen (ich „vernichte“ ja eine Dimension") das ganze kann also auch auf keinen Fall mehr umkehrbar sein.

Als letztes die (einfache) Frage, ob es sich bei f1 um einen Automorphismus handelt:
Nein, dann Automorphisen sind Isomorphismen von einer Menge auf sich selbst. Wir haben schon gesehen dass f1 kein Isomorphismus ist, fertig.
Außerdem bildet f1 den R² auf R ab. Das sind verschiedene Mengen!
(Für Automorphismen kommen nur die Aufgaben c und d in Frage, falls es sich dort um Isomorphismen handelt).

Ich hoffe das hat geholfen!

Liebe Grüße
TeXWizard

#3

Hallo larryhunter,

hier ein Einstieg zur Teilaufgabe a)

f_{1}(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=
3(x_{1}+x_{2})-4(y_{1}+y_{2})=

3x_{1}+3x_{2}-4y_{1}-4y_{2}=
3x_{1}-4y_{1}+3x_{2}-4y_{2}=
f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2})

Also:

f_{1}(a+b)=f_{1}(a)+f_{1}(b)

#4

Hi larry,

homomorphismus bedeutet f1((x1,y1)+(x2,y2)) = f1(x1,y1) + f1(x2,y2) … das kann man einfach ausrechnen … unter beachtung von ((x1,y1)+(x2,y2)) = (x1+x2,y1+y2).
automorphismus bedeutet, dass es eine umkehrfunktion gibt, dazu muss f1 vor allem eindeutig sein, d.h. für alle z aus R existiert (höchstens) genau ein paar (x,y) dass f1(x,y)=z gilt. Das ist offenbar nicht der Fall, denn f1(4,0) = f1(0,3).
Isomorphismus ist eine Verschärfung vom automorph, d.h. wenn der nicht gilt, dann ist es auch kein Isomorph.

Grüße,
JPL

#5

Welche der folgenden Abbildungen sind Homo-,Iso- bzw.
Automorphismen?

a) f1: (R²,+)->(R,+), f1(x,y) = 3x-4y

Hallo larryhunter,

zuerst ist immer die Frage wichtig, auf welche > sich die Begriffe Homomorphismus etc beziehen. In diesem Fall scheint es um Gruppen zu gehen (man könnte aber auch Vektorräume denken).

Aufgabe a)
(i) Nachweis, dass f1 ein Gruppenhomomorphismus ist: f1((x,y)+(x’,y’)) = f1((x+x’,y+y’))=3(x+x’) - 4(y+y’) = 3x-4y + 3x’-4y’ = f1((x,y)) + f1((x’,y’)). Dies gilt für alle (x,y) und (x’,y’) aus R². Beachte, dass man meist (aus Nachlässigkeit) einige der Klmmern weglässt. Für den Anfang ist es aber sinnvoll, präzise alles hinzuschreiben.
(ii) Nachweis, dass f1 kein Gruppenisomorphismus ist: Betrachte die zwei Elemente (2,1) und (2/3,0) aus R². Sie sind offensichtlich verschieden. Dennoch bilden sie beide unter f1 auf 2 ab. Also ist die Abbildung nicht injektiv, sie kann also kein Isomorphismus sein.
(iii) Nachweis, dass f1 kein Automorphismus ist: Zwei Möglichkeiten:
(a) Die Abbildung ist nicht injektiv, also nicht bijektiv, also kann sie kein Automorphismus sein.
(b) f1 ist kein Automorphismus, weil Urbildraum und Bildraum nicht übereinstimmen. (es ist kein Endomorphismus)

Ich hoffe, das hilft.

Gruß,
Daniel

#6

Lieber Larryhunter!

Leider kann ich diese Aufgabe nicht lösen.

#7

Hallo larryhunter,

hier kommen alle Lösungen, also lies nur die a), falls Du noch selber rechnen willst :wink:

a) f1: (R²,+)->(R,+), f1(x,y) = 3x-4y (kein Homomorphismus, da f1(1+1,1) (ungleich) f1(1,1) + f1(1,1)

b) f1: (R²,+)->(R,+), f1(x,y) = 2+3x-4y (dito)

c) f1: (R²,+)->(R²,+), f1(x,y) = (y,y) (ist Homomorphismus, f1 wird durch die Matrix A =

0 1
0 1

beschrieben. Die ist aber singulär (det(A)=0), also ist das kein Isomorphismus. Der Kern ergibt sich aus A(x,y)=0.

d) f1: (R²,+)->(R²,+) = f1 (x,y)= (2x+y,x-y) (ist Homomorphismus, da f1 durch die Matrix A =

2 1
1 -1

beschrieben wird. Nachrechnen! Damit bekommst Du dann auch den Kern. Löse das LGS A(x,y)=0. Da die Matrix A nichtsingulär ist (det(A) 0), ist das ein Isomorphismus und sogar ein Automorphismus, da R² auf sich selbst abgebildet wird.

Gruß
Marco

#8

war lange zei tausser gefecht wegen krankheit und so…
werde mich da schlau machen.
kann dauern und si tauch nciht so einfach
franz

#9

Hallo!

Zunächst einmal ein dickes Sorry für die späte Antwort, aber ich hatte eine Weile keinen Zugriff auf mein Postfach.

Nun, eigentlich muss man „nur“ die Definition beweisen bzw. (wenn man es sieht) schnell einen Widerspruchsbeweis erbringen.

Dass Homom. Voraussetzung von Isom. ist, wirst Du wissen, daher musst Du also zeigen:
für alle x,y,x0,z0 Element von Defbereich gilt:
f1(x+x0,y+y0) = f1(x,y) + f2(x,y) im Wertebereich. Die Notation kommt mir etwas ungewöhnlich vor, wofür steht (R, +)? Nur positive Zahlen?

Wie dem auch sei, also entweder gleich einen „Fehlerfall“ finden, bei dem die Regeln für die einzelnen Morphismen nicht klappen oder mit Widerspruchsbeweis zeigen, dass alles „gut“ ist.

Viel Erfolg, ich hoffe, ich konnte ein paar Tipps geben, ggf. wenn Du mir erklärst, was die Notation genau bedeutet, kann ich ausführlicher helfen.

Viele Grüße,
Michael

#10

Hallo Larry,

sorry fuer die spaete Antwort, bin etwas im Stress…

Algebra war nicht gerade mein Lieblingsfach… hoffe, Du hast eine gute Antwort von wem anders bekommen.

trotzdem viele Gruesse aus Hannover,
Martin

#11

Sorry war auf einer Dienstreise.
Benötigst Du noch eine Antwort?

Gruß
Stefan