Homo-Iso-Automorphismus

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
Welche der folgenden Abbildungen sind Homo-,Iso- bzw. Automorphismen?

a) f1: (R²,+)->(R,+), f1(x,y) = 3x-4y

b) f1: (R²,+)->(R,+), f1(x,y) = 2+3x-4y

c) f1: (R²,+)->(R²,+), f1(x,y) = (y,y)

d) f1: (R²,+)->(R²,+) = f1 (x,y)= (2x+y,x-y)

Bestimmen Sie gegebenenfalls jeweils den Kern von f1.

Komme mit dieser Aufgabe nicht richtig zurecht. Ich kenne zwar die Definitionen von Homo-, Iso-, und Automorphismen, aber ich weiß dass nicht auf die Aufgabe anzuwenden. Es wäre gut, wenn jemand so nett wäre und die a) mal als Beispiel vorrechnet, damit ich verstehe, wie das funktioniert

#2

Hmmm, wird´s langsam knapp mit der Bearbeitung der Übungsaufgabe??? :wink:

Was ist denn der Unterschied zwischen einem Iso- und einem Automorphismus?
Damit wird dann klar: ein Automorphismus kann a) nicht sein!

Offensichtlich ist: f1(0,0) = 0.
Was ist denn f1(4,3) ?
Kann dann f1 ein Isomorphismus sein?

Jetzt noch nachrechnen, ob f1 überhaupt ein Homomorphismus ist. Dazu einfach die Def. von Hom. anschauen, einsetzen und kurz nachrechnen.

Tipp: Mach genau die gleichen Überlegungen für Aufgabe b),
dann wird dir hoffentlich klar, wo der kleine aber feine Unterschied zwischen den Aufgaben liegt.

Bonustipp: Es gibt genau einen Automorphismus in dieser Aufgabe (der damit auch ein Isomorphismus ist), die anderen drei sind KEINE Isomorphismen.

Mathematik ist, wenn es in DEINEM Hirn „Klick“ macht,
alles andere schadet dir nur!

#3

Hey larryhunter,

gern versuch ich mal die a) erklärt vorzurechnen.
Homomorphismus?
Dazu musst du zwei Elemente aus der linken Menge wählen. (natürlich allgemein) Einmal musst du sie erst mit der linken Abbildung verknüpfen und dann in die Abbildung stecken. Das andere Mal musst du beide getrennt in die Abbildung stecken und die Ergebnisse mit der rechten Abbildung verknüpfen. Kommt beide male das gleiche heraus, so handelt es sich um einen Hom. (du rechnest also die Definition nach)
Ich verwende hier ein wenig LaTeX-Notation, darauf wirst du im Studium früher oder später eh treffen. (falls du Mathe machst) Das ist halbwegs intuitiv lesbar, bei Problemen siehe hier: http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics
Seien also (x_1,y_1), (x_2,y_2) \in \R^2 (zwei allgemeine Elemente aus der linken Menge)
f(x_1,y_1) + f(x_2,y_2) = 3·x_1 - 4·y_1 + 3·x_2 - 4·y_2 = 3(x_1 + x_2) - 4 (y_1 + y_2) = f(x_1 + x_2,y_1 + y_2)
Bedingung erfüllt, f ist also ein Homomorphismus

Kern?
Da f ein Hom ist, hat es auch einen Kern, außerdem werden wir ihn im Anschluss brauchen. Ker(f) = Kern(f) = alle (x,y) \in \R^2 mit f(x,y) = 0 (die Null der Zielmenge, also von \R)
Klar ist, dass f(0,0)=0. Aus f(x,y) = 3x-4y = 0 3x = 4y folgt allerdings auch f(4,3) = 3·4 - 4·3 = 0. Außerdem sind natürlich auch alle Vielfachen von (4,3) im Kern.
Also ker(f) = {\lambda·(4,3) | \lambda \in \R}

Isomorphismus?
Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Für die Bijektivität muss die Injektivität und die Surjektivität gezeigt werden.
-Injektivität?
Da (\R^2,+) eine Gruppe ist, gilt f injektiv ker(f) = {0}
Wir haben bereits gezeigt, dass ker(f) != {0} (nicht gleich)
Falls für dieses Argument der Satz fehlt, geht es auch so:
(0,0),(4,3) \in \R^2, f(0,0) = 0 = f(4,3), aber (0,0) != (4,3), das ist ein Gegenbeispiel zur Definition
Es ist also kein Isomorphismus
-Surjektivität?
Obwohl wir schon fertig sind der Vollständigkeit halber auch dieses.
Sei z \in \R, dann gilt (z/3,0) \in \R^2 und f(z/3,0)=z, also wird die gesamte Zielmenge (\R) angenommen, damit ist f surjektiv.

-Automorphismus
Ist ein Isomorphismus, bei dem Grund- und Zielstruktur (also Menge und Verknüpfung) identisch sind.
F ist kein Isom, also auch kein Autom.
Aber selbst wenn f ein Isom wäre, wäre es kein Autom., da \R^2 != \R und somit insbesondere (\R^2,+) != (\R,+)

Ich hoffe, das gibt dir die nötige Starthilfe. Ich steh gern für Rückfragen zur Verfügung.
Gruß,
Matthäus Brandl

#4

Aufgabe a): f ist homomorph.
Zu zeigen ist: f (a,b)+f (c,d) = f ((a,b)+(c,d))
Beweis:
f (a,b) + f (c,d)
= 3a - 4b + (3c - 4d)
= (3a + 3c) - (4b + 4d)
= 3 (a+c) - 4 (b+d)
= f ((a+c),(b+d))
= f ((a,b)+(c,d))

(Ich habe übrigens von beiden Seiten gleichzeitig angefangen, das f aufzulösen, und die Terme stimmten dann irgendwann überein).

Andererseits ist f nicht bijektiv. Da f(4,3) = f(8,6), aber (4,3) und (8,6) nicht gleich sind, ist die Funktion nicht injektiv.
Damit ist f also nicht isomorph. Und automorph erst recht nicht, da Definitions- und Wertemenge nicht übereinstimmen.

Es fehlt noch der Kern. Für dessen Elemente gilt:
f(x,y)=0
=> 3x-4y = 0
=> 3x = 4y
=> y = 3/4x

Im Kern sind also alle Elemente der Form (x,3/4x).

„Probe“: f(x,3/4x)= 3x - 4*(3/4 x)= 3x - 3x = 0