Für welche a,b Element R ist f: (R,+) -> (R,+)
f(x)= ax+b ein Homomorphismus, bzw. ein Isomorphismus?
Muss ich für diese Aufgabe nicht herausbekommen, wann die Funktion injektiv und wann bijektiv ist? Ich bin mir nicht sicher… und braucht man dafür nicht eine zweite Funktion?
hi,
zunächst muss du herausbekommen, für welche a und b eine derartige abbildung die struktur erhält.
wann ist also f(x+y) = f(x) + f(y) ?
f(x+y) = a*(x+y)+b = ax+ay+b
f(x) + f(y) = ax+b + ay+b = ax+ay+2b
also?
naja: ein isom. ist ein bijektiver homom. bijektiv ist so ein f „fast immer“; wann nicht?
wann ist f nicht injektiv? wann folgt aus f(x)=f(y) nicht, dass x=y ist?
ax+b = ay+b /-b
ax = ay
dann ist x = y außer …
oder surjektiv:
gibts zu jedem z € |R ein x mit ax+b = z ?
ax = z-b
x = (z-b)/a … aber wann nicht?
nein, eine zweite funktion brauchst du nicht. wozu? woran denkst du?
hope that helps 
m.
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hi,
Für welche a,b Element R ist f: (R,+) -> (R,+)
f(x)= ax+b ein Homomorphismus, bzw. ein Isomorphismus?Muss ich für diese Aufgabe nicht herausbekommen, wann die
Funktion injektiv und wann bijektiv ist? Ich bin mir nicht
sicher… und braucht man dafür nicht eine zweite Funktion?zunächst muss du herausbekommen, für welche a und b eine
derartige abbildung die struktur erhält.
wann ist also f(x+y) = f(x) + f(y) ?
f(x+y) = a*(x+y)+b = ax+ay+b
f(x) + f(y) = ax+b + ay+b = ax+ay+2b
also?
also wäre doch für b=0 f(x+y)= f(x)+ f(y)? Und wenn das so ist, liegt ein Homomorphismus vor. Habe ich das jetzt richtig verstanden?
also wäre doch für b=0 f(x+y)= f(x)+ f(y)? Und wenn das so
ist, liegt ein Homomorphismus vor. Habe ich das jetzt richtig
verstanden?
exakt.
m.
Danke!
Hm, aber mit dem Isomorphismus komme ich nicht weiter…wenn das doch bedeutet, dass es injektiv und surjektiv (also bijektiv) sein soll, wieso soll ich dann zeigen, wann es nicht injektiv oder surjektiv ist?
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Danke!
Hm, aber mit dem Isomorphismus komme ich nicht weiter…wenn
das doch bedeutet, dass es injektiv und surjektiv (also
bijektiv) sein soll, wieso soll ich dann zeigen, wann es nicht
injektiv oder surjektiv ist?
homom. also für b = 0.
wenn du weißt, bei welchen a die abb. f nicht injektiv bzw. nicht surjektiv ist, dann weißt du auch, bei welchen sie’s ist. es geht jetzt um die a…
schau dir noch mal meine vorarbeit an.
m.
naja: ein isom. ist ein bijektiver homom. bijektiv ist so ein
f „fast immer“; wann nicht?
wann ist f nicht injektiv? wann folgt aus f(x)=f(y) nicht,
dass x=y ist?
ax+b = ay+b /-b
ax = ay
dann ist x = y außer …oder surjektiv:
gibts zu jedem z € |R ein x mit ax+b = z ?
ax = z-b
x = (z-b)/a … aber wann nicht?
surjektiv kann es nur dann sein, wenn a ungleich null ist, weil man ja nicht durch 0 teilen kann. aber bei der injektivität sehe ich keine lösung. also foglich, wenn es nur surjektiv sein kann, wenn a ungleich null ist, bedeutet dies dann, dass ein Isomorphismus vorliegt, wenn a ungleich null ist?
naja: ein isom. ist ein bijektiver homom. bijektiv ist so ein
f „fast immer“; wann nicht?
wann ist f nicht injektiv? wann folgt aus f(x)=f(y) nicht,
dass x=y ist?
ax+b = ay+b /-b
ax = ay
dann ist x = y außer …oder surjektiv:
gibts zu jedem z € |R ein x mit ax+b = z ?
ax = z-b
x = (z-b)/a … aber wann nicht?surjektiv kann es nur dann sein, wenn a ungleich null ist,
exakt.
weil man ja nicht durch 0 teilen kann. aber bei der
injektivität sehe ich keine lösung. also foglich, wenn es nur
surjektiv sein kann, wenn a ungleich null ist, bedeutet dies
dann, dass ein Isomorphismus vorliegt, wenn a ungleich null
ist?
wenn a = 0 ist, ist auch die injektivität nicht gegeben, denn dann folgt aus ax = ay ja nicht x = y.
damit hast du nun alles beinand’.
m.