Hallo Experten,
bei mir steht die mündliche Prüfung in Mathematik an. Soweit habe ich fast alles verstanden, nur eines ist zu hoch für mich. Nach dem Lesen der fernunieigenen Skripte und mindestens 5 aus dem Internet gezogenen Erläuterungen ist mir immer noch unklar wie man aus einer linearen Abbildung f: V --> W die entsprechende Matrix bekommt und umgekehrt. Über eine verständliche Erklärung oder einen guten Link würde ich mich freuen.
Gruß an alle
platinum98
Hi Platinum,
[…] ist mir immer noch
unklar wie man aus einer linearen Abbildung f: V --> W die
entsprechende Matrix bekommt und umgekehrt.
ohne jetzt zu erkennen, wo genau Dein Problem liegt, solltest Du den Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen gut verstanden haben. Der ist nämlich von ziemlich zentraler Bedeutung in der Algebra und dementsprechend oft wird in Prüfungen danach gefragt.
Hier nur der Kerngedanke: Wann immer Du eine lineare Abbildung phi: E -> F (E, F Vektorräume, m := dim E, n := dim F) sowie je eine Basis von E und F hast, kannst Du Dir die E-Basisvektoren e[i] (i = 1…m) nacheinander vorknöpfen, sie durch phi jagen, und Dir angucken, welche Bildvektoren phi(e[i]) in F Du erhälst. Diese Bildvektoren sind i. a. natürlich nicht(!) identisch mit den F-Basisvektoren f[k] (i = 1…n), aber immer eindeutig als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellbar:
phi(e[i])
= Summe[1…n] („Beitrag“ des k-ten F-Basisvektors zum Bild des i-ten E-Basisvektors) f[k]
Die „Beiträge“ sind doppelindiziert durch i und k („aik“), und es gibt genau n*m Stück von ihnen. Wenn Du sie aufschreibst, tust Du das am zweckmäßigsten einfach in einem zweidimensionalen rechteckigen Schema, und dieses nennt man „Matrix“. Das Coole an der Sache ist, daß die (bei gegebenen festen E- und F-Basen) zu einer linearen Abbildung gehörende Matrix eindeutig bestimmt ist und umgekehrt, d. h. die Matrix und die lineare Abb. sind zueinander isomorph (das gegebenfalls in der Prüfung unbedingt erwähnen!).
Wie die zu einer in der Form
phi: R^3 -> R^3 (Basis = Einheitsbasis), x -> 2.8*x
gegebenen Abbildung zugehörige Matrix aussieht, kann man mit etwas (einfacher) Überlegung herausfinden. Offensichtlich muß das hier die Matrix ((2.8, 0, 0), (0, 2.8, 0), (0, 0, 2.8)) sein.
phi: x -> (1.3*x[1], 4.7*x[2], 0)
führt zur Matrix
((1.3, 0, 0), (0, 4.7, 0), (0, 0, 0)).
phi: x -> (1.3*x[1]-x[3], 4.7*x[2], -x[1])
führt zur Matrix
((1.3, 0, -1), (0, 4.7, 0), (0, 0, -1)) sein.
phi: x -> (1.3*x[1]+5.6*x[2]-x[3], -x[1]+41*x[3], 24*x[1]+x[2])
führt zur Matrix
((1.3, 5.6, -1), (-1, 0, 41), (24, 1, 0)) sein.
Und das allgemeinste
phi: x -> (a[1,1]*x[1]+a[1,2]*x[2]+a[1,3]*x[3],
a[2,1]*x[1]+a[2,2]*x[2]+a[2,3]*x[3],
a[3,1]*x[1]+a[3,2]*x[2]+a[3,3]*x[3])
führt zur Matrix
((a[1,1], a[1,2], a[1,3]),
(a[2,1], a[2,2], a[2,3]),
(a[3,1], a[3,2], a[3,3]))
Wie Du siehst, ist so eine Matrix letztendlich eigentlich nur eine „Aufschreibform“ der zugehörigen linearen Abbildung, aber genau das ist es ja auch, was die Isomorphie-Eigenschaft besagt („Isomorphie“ heißt: Es ist egal, ob Du die Klausur mit schwarzem oder mit blauem Stift schreibst. Weil alle blauen Zeichen zu ihren schwarzen Pendants isomorph sind, gibt es die gleiche Punktzahl).
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo, Platinum,
wichtig ist es vielleicht einzusehen, daß es zu *einem* Homomorphismus
*mehrere* (eigentlich unendlich viele) Matrizen gibt.
Das Grundproblem ist, daß ein abstrakter Gegenstand auf
verschiedene Weise konkret angeschrieben werden kann.
Ich versuche das in drei Beispielen zu erklären:
Die Frage, wieviel' denn nun r oder \pi oder e sind, kann man nur beantworten, wenn man sich auf ein Zahlensystem einigt, z.B. das 10er System. Dann kann man konkret sagen, \pi ist 3,1415... Aber das ist doch nur eine Abkürzung dafür, daß man schreibt \pi = 3\*10^0 + 1\*10^{-1} + 4\*10^{-2} + 5\*10^{-3} + ... ( ^ heißt hoch’ )
Als eine Art `Basis’ hat man also alle Zehnerpotenzen, und man
gibt die reelle Zahl dadurch konkret an, welche Koeffizienten
von 0 bis 9 diese Zehnerpotenzen haben. Im Binärsystem würde
man mit Zweierpotenzen arbeiten. Dann sähe \pi ganz anders aus,
etwa wie 11,001… nur 0 und 1. Beide Ziffernfolgen, also 3,14…
und 11,00…, stehen für die *gleiche* Zahl, die man hier per
Konvention abstrakt mit \pi bezeichnet hat. Es ist die Wahl
der Basis (Zehner- oder Zweierpotenzen), die die gleiche
reelle Zahl so unterschiedlich aussehen läßt. Aber beide stehen
abstrakte' Zahl \pi. Man muß übrigens sogar \*beweisen\*, daß man alle reellen Zahlen mit Hilfe von Potenzen von natürlichen Zahlen in dieser Weise erwischen’ kann.Beim Vektor sieht es ähnlich aus. Ein Vektor ist ein Element
eines Vektorraums, mehr nicht. Vektoren kann ich mit Buchstaben
wie v,w,e_1, etc. bezeichnen. Außer für den Nullvektor 0 gibt
es leider keine Konventionen für bestimmte Vektoren wie bei
den reellen Zahlen mit \pi und e.
Wenn ich einen Vektor v als Spalte mit Zahlen drin angebe, habe
ich gleichzeitig schon festgelegt, die Basisvektoren mit
Einheitsspaltenvektoren (1,0,0, …)^T, (0,1,0,…)^T
zu benennen. Die Aussage, daß ich einen Vektorraum der
Dimension N mit einer
Basis erzeugen kann, bedeutet hier, daß ich nicht alle Vektoren
mit verschiedenen abstrakten Buchstaben bezeichnen muß (man
würde also unendliche viele Buchstaben brauchen), sondern man
muß nur akzeptieren, daß N Vektoren (nämlich die Basisvektoren)
abstrakt bezeichnet bleiben (wie übrigens oben die Zahl 10!),
dafür kann man alle anderen Vektoren als Linearkombinationen
dieser N Basisvektoren erwischen', d.h. einen Vektor benenne ich konkret durch Angabe der Koeffizienten zu den einzelnen Basisvektoren, z.B. v = 4\*e\_1 + 5\*e\_2 + 6\*e\_3 (statt der Zehnerpotenzen stehen hier also die Basisvektoren), und benutze die Kurznotation v = (4,5,6)^T. Bei dieser Kurznotation fehlt dann der Hinweis, daß ich mich auf eine Basis von konkreten (!!) Vektoren e\_1,e\_2,e\_3 beziehe. e\_1 ist hier ein ganz bestimmter Vektor, auch wenn ich nichts anderes mehr tun kann, als ihn mit der Hand im Vektorraum anzufassen, mit Zahlen kann ich ihn nicht benennen! Nehme ich eine andere Basis, f\_1 bis f\_3, so kann der gleiche abstrakte Vektor v ganz andere Koeffizienten haben und das Spaltendings ganz andere Einträge haben (so wie oben im Binärsystem). Aber es ist der gleiche konkrete Vektor! Die Formel Basiswechsel’ steht dafür, wie man die Spalteneinträge umrechnet!
Endlich die Homomorphismen: Ein linearer Homomorphismus
bildet einen Vektor auf einen anderen Vektor ab. Wenn man
nichts von einer Basis weiß, müßte man eine vollständige
Tabelle anlegen, die unendlich lang ist und zu jedem Buchstaben(!!) des Urbildvektore der Buchstabe des Bildvektors
angegeben ist.
Gibt man aber eine Basis an, so kann man die lin. Abbildung
viel einfacher beschreiben. Man gibt einfach für jeden der
N Basisvektoren an, auf welchen Vektor er abgebildet wird.
Diese Informationen werden in einer Matrix zusammengestellt:
In der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren! Die
erste Spalte der Matrix ist das Bild des ersten Basisvektors
e_1 = (1,0,0…). In der zweiten Spalte… des zweiten Basisvektors. Die Bildvektoren (=Spalten) sind normalerweise
auf die gleiche Basis bezogen (muß aber nicht, in peniblen
Lehrtexten könnten man für die Bildvektoren eine andere Basis
gewählt haben als für die Input-Vektoren, das ist aber schon
sehr korinthig.)
Die lange Rede: Die Matrix und ihre Einträge hängen hochgradig
von der Wahl der Basis ab!
Man kann die Einträge berechnen, indem man guckt, auf welche
Vektoren die Basisvektoren abgebildet werden.
In der Eigenwerttheorie wird ja sogar gezeigt, daß man die
Eigenvektoren einer lin. Abbildung als Basis benutzen kann,
in dieser Basis ist die Matrix diagonal und hat gerade die
Eigenwerte als Einträge. Es ist immer die gleiche Abbildung,
auch wenn sie vorher chaotische Einträge hatte.
So, das war ein langer Text. Hoffentlich habe ich Dich nicht
erschlagen.
Gruß
Stefan
Hallo Martin,
kaum zu glauben. Ich habe es dank Deiner guten Erklärungen tatsächlich verstanden. Vielen Dank für die Mühe die Du Dir gemacht hast. Nachdem ich Deine Ausführungen gelesen habe habe ich mir mein Script nochmals zur Hand genommen und es hat Klick gemacht. Wenn man es mal „auf Deutsch“ erklärt bekommt und den ganzen formalen Kram mal beiseite lassen kann hilft das enorm.
Besten Dank nochmals.
Jürgen
Hallo Stefan,
auch Dir einen herzlichen Dank für den langen Artikel. Wie oben schon erwähnt habe ich es jetzt glücklicherweise kapiert. Ich hoffe ich kann mich mal revangieren.
Gruß
Jürgen