Hôpitalisten und Hospitanten gesucht!

Dilda_8603d5 · 14. November 2002 um 17:44

Im Verlaufe meiner Untersuchungen zur („Riemannschen“) Zetafunktion stieß ich auf 2 zahlentheoretische Methoden, die sowohl „trivialer Natur“ sind als auch bislang in der matheamtischen Literatur merkwürdigerweise unbekannt scheinen.
Ich bin nun zwecks Veröffentlichung meiner Ergebnisse auf der Suche nach geeigneten Namen für diese Methoden, die ich bislang noch provisorisch „Limes-Methode“ und Methode der „Diversitätserweiterung“ genannt habe.

Die „Limes-Methode“ (oder auch „Hôpitalsche“) dient zur Umwandlung von gleichermaßen endlichen wie unendlichen Summen in ebensolche Produkte.
Triviales Beispiel: 1 + 2 = lim{n*(1-[1-1/n]*[1-2/n]}, für n gegen unendlich, bzw., zwecks Anwendung der Regel von de l´Hôpital,
1 + 2 = lim{(1 - [1-1x]*[1-2x])/x}, für x gegen 0

Diese Methode nähert sich natürlich mit kleiner werdendem x rapide der zu erwartenden 3, aber ist für diese Aufgabe natürlich etwas sehr umständlich, denn das können ja schon sehr viele, bis drei zählen, meine ich.
Da man sie aber auch auf unendliche Summen anwenden kann (so sie nur konvergent sind), zeigt sie ihren Nutzen speziell z.B. bei der Berechnung der unendlichen Summe der natürlichen Kehrwertquadrate, Summe{1/n^2}, für n von 1 gegen unendlich, die ja bekanntlich gegen pi^2/6 konvergiert, und von Zeta- (und Iota)Funktionswerten allgemein.

Zeta(2) = Summe{1/n^2} = 1 - (1 - S{1/n^2}) =

lim{(1 - [1 - S(x^2/n^2)])/x^2}, für x gegen 0, =

lim{(1 - Prod[1 - x^2/n^2])/x^2}, für x gegen 0,
wobei das unendliche Produkt Prod[1 - x^2/n^2] bekanntlich gleich dem „Sinusprodukt“ ist, also gleich sin[pi*x]/[x*pi], folglich gilt:

Zeta(2) = lim{(1 - sin[pi*x]/[x*pi])/x^2} =

lim{(x*pi - sin[pi*x])/[pi*x^3]},

und das ist nur noch eine „Hôpitalsche 0/0 Bestimmung“ und ergibt in 3 Schritten:

lim{(pi - pi*cos[pi*x]])/(3*pi*x^2)}, für x geg 0 und
lim{(pi^2*sin[pi*x]])/(6*pi*x)}, für x geg 0 und
lim{(pi^3*cos[pi*x]])/(6*pi)}, für x geg 0,
= lim{(pi^2*1/6} = (pi^2)/6 !!!

Bei „höheren Summen“ (Exponenten), für die es keine Art „Sinusprodukt“ gibt, kann man dennoch mithilfe Zerlegung in Linearfaktoren und der „Gammafunktion“ weiterrechnen, es gibt allerdings nur für gerade Exponenten eine „geschlossene“ Form, da dort die Gamma-Argumente paarweise „negativ-konjugiert“ auftreten und der „Eulersche Ergänzungssatz“ angewendet werden kann.

Diese „geradzahligen Zetafunktionswerte“ können aber auch schrittweise aus der eben berechneten Zeta(2) mithilfe meiner (neuen?) „zweiten Methode“ berechnet werden, die mit dem Satz von Vieta zusammenhängt, und die ich zunächst: „Diversitätserweiterung“ genannt habe.
Zum Beispiel ist Zeta(4) = Summe{1/n^4}, n von 1 bis unendlich, = {Zeta(2)}^2 - 2*Summe{[1/n1^2]*[1/n2^2]}, für n1 ungleich n2, wobei die letztere Summe sich aus Koeefizientenvergleich der Sinusreihe und des ausmultplizierten Sinusproduktes als pi^4/5! ergibt.
Also folgt: Zeta(4) = (pi^2/6)^2 - 2*pi^4/5! =
pi^4/36 - pi^4/60 =
pi^4/90 !!!

Diese Methode als „Diversitätserweiterung“ kann am besten an dem Problem der endlichen Summe der Produkte aller möglichen „6 Richtigen“ im Lotto demonstriert werden. Wohlgemerkt: der Summe der Produkte, nicht der Anzahl der möglichen verschiedenen 6er-Kombinationen von Zahlen zwischen 1 und 49!
„Einerstufe“: es gibt 49 verschiedene Zahlen, also ergibt sich als Summe D1 = S1 = 49/2*(49+1) = 1225.
„Zweierstufe“: Die Summe der Zweierkombinationen ergibt sich binomisch als D2 = (1/2)*(D1*S1 - S2), wobei S2 die Summe der Quadrate der 49 Zahlen sind.

Also ist D2 = (1/2)*(1225^2 - (49/6)*50*99 = 730100
d.h. die Summe aller Produkte je zweier der „6 Richtigen“ ist schon ca 3/4 einer Million.

Also ist D3 = (1/3)*(D2*S1 - D1*S2 + D0*S3), wobei D0 immer = 1.
Also ist D3 =
(1/3)*(730100*1225 - 1225*40425 + 1500625) = 282117500,
also schon fast 300millionen.

Also ergibt sich für D6:
(1/6)*(D5*S1-D4*S2+D3*S3-D2*S4+D1*S5-D0*S6), und das ergibt etwa 3*10^15, also 3 Billiarden!!!

Bei den Zetasummen nenne ich die unendliche Summe der Produkte von k unterschiedlichen (Kehrwert)Quadraten „PDk“, die unendliche Summen der kten (Kehrwert)Potenzen „PSk“, und es ergibt sich zb für k=3:

PD3 = (1/3)*(PD2*PS1 - PD1*PS2 + PD0*PS3 =

pi^6/7!=(1/3)*([pi^4/5!]*pi^2/6 -[pi^2/3!]*pi^4/90 +PS3=

also:
PS3 = 3*pi^6/7! - [pi^4/5!]*pi^2/6 + [pi^2/3!]*pi^4/90 =

pi^6/945, die ebenfalls bereits bekannte Formel.

Alle weiteren „geraden“ Zetafunktionswerte können wiegesagt nach dem gleichen Verfahren sukzessive entwickelt werden, was mir bereits bis Zeta(12) gelungen ist.

Mir ist natürlich auch die Formel zur ebenfalls sukzessiven Berechnung der Zetafunktion für gerade Exponenten bekannt, aber hier ist ein Weg geschaffen, diese Werte relativ „zufuß“ zu berechnen, ohne Benutzung der für mich recht ominösen „Bernouillizahlen“, die ja im ungerade Falle auch nicht helfen tun.
Übrigens kann man die noch ziemlich unbekannte Integralformel für alle natürlichen Werte auch ziemlich billig „auf Abiturniveau“ mittels partieller Integration entwickeln.

Ich meine: Zeta(k+1)=(1/k!)*Int{[-ln(t)]^k/(1-t) *dt}, 0, 1 und substituiert mit u = -ln(t), also t = e^[-u],

Zeta(k+1) = (1/k!)*Int{u^k/[e^u - 1]*du}, 0, unendlich

Mit meinem Programm MathCad gibt es allerdings durch die Genauigkeitsgrenze 10^[-15] erhebliche durch Rundung bedingte Fehler, wenn man als obere Grenze x > +200 winsetzt!
Sonst aber schon recht genau!

Ich habe eine Schrift „Et Zetera“ im MathCadVII-Format, die ich demnächst wohl privat ausdrucken und verschicken werde, in Vorbereitung; als 1te Nummer eines „bookletters“ namens >Froscholler

Thomas_Millack · 15. November 2002 um 11:20

Hallo Manni

Bin kein Berufsmathematiker, kann also zu Deinen Ausführungen nichts sagen.

Aber warum reichst Du Deine Überlegungen nicht in einem mathematischen Journal zur Publikation ein?

Ein guter Reviewer müsste dann ja harausfinden, ob die Technik schon bekannt ist - und wenn er nichts findet und die Sache akzeptiert, dann hast Du eine schöne Publikation.

Gruss
Thomas

Dilda_8603d5 · 15. November 2002 um 17:20

Euler nach Athen tragen
Hallo Thomas!
Danke für Deinen Tipp, aber nach einem drittel Jahrhundert Abgewimmeltwerden von den „Mathematischen Autoritäten“ (angefangen vom eigenen Mathelehrer einst bis zur Crème der internationalen Professorenschaft heuer) laufe ich nun niemand mehr (willentlich) hinterher.
Sicherlich laufe ich immer Gefahr, die Lösung eines jahrtausendealten Problems „endlich gefunden“ zu haben (also „Euler nach Athen zurück tragen“, auch wenn es da wirkliche Ausnahmen gibt zB die der kürzlichen Knackung des jahrhundertealten „Großen Fermatschen Problems“),
ähnlich dem Kollegen hier, der sicher zu sein scheint, dem Rätsel der „vollkommenen Zahlen“ endlich auf die Schliche gekommen zu sein, aber meine Hauptidee ist nicht die Lösund eines Problems, sondern eine neue Methode der Entwicklung, ein gleichermaßen grundlegender und trivialer (und daher wohl „wissenschaftlich unakzeptabler“) Zusammenhang zwischen Addition und Multiplikation, den ich tatsächlich auf dem Umweg über „hochwissenschaftliche Formeln“ (Eigenart der eFunktion) gefunden hatte aber nun elemantar begründen und erfolgreich auf „alte Probleme“ kann. Wie zB die „Riemannsche Zetafunktion“.

Aber warum reichst Du Deine Überlegungen nicht in einem

mathematischen Journal zur Publikation ein?:

Hab mich (nicht das erstemal) heute im Internet umgekukt: Hilfe!!! Sowieso, wo die leute im,mer nur Antworten, aber keine Frage (mehr) haben, da bin ich nicht zuhause.
Daher ja auch mein häufig (nicht immer gut verborgen) aggressives Auftreten hier im Forum.

Ein guter Reviewer müsste dann ja harausfinden, ob die Technik

schon bekannt ist - und wenn er nichts findet und die Sache
akzeptiert, dann hast Du eine schöne Publikation.:

Aber was ist ein „guter Reviewer“?
Doch in erster Linie einer, der für gutes Rénommé und damit guten Absatz sorgt.
Es ist nicht wahr, daß „einer irgendwann mal auch eine positve Würdigung braucht“. Mir reicht die Vorstellung, die Mathokraten (und Linguakraten) schließlich deprimiert wimmernd am Boden zu sehen. (und wenn auch nur in der Imagination).
Aber weiteres Hinterherlaufen meinerseits wäre bewußt würdelos.
Und auch nur ein einziger guter Freund verhindert den Absturz in den puren Zynismus. Ich habe einen.
Und auch einen (bald zu verwirklichenden) Traum:
Eine Art „Off-Topic-Magazin“.
Also eins mit „KeiKjuh“, oder auch nur ziemlich wenich IQ;
nicht für „Querdenker“ (die ja inzwischen `bei Hofe´ gesucht werden), sondern für einfach all die „Queren“. Ganz quer.
Also eher Künther Krass als der annere.
Ist es möglich, daß (auch hier) einmal eine Frage gestellt wird ohne Erwartung „der Antwort“? Also eine Frage, die man nicht in irgendeinem Buch schon beanmtwortet finden kann?
Die sich selbst nur besser verstehen möchte?

unimportant_10321d · 15. November 2002 um 23:03

Hi Dilda,

ich kenne das Problem. Man entdeckt etwas wirklich Tolles oder Nützliches oder Neues, aber man hat meist keine Chance damit durchzudringen. Die Etablierten Kreise schotten sich ab, als gelte es sich vor einer tödlichen Krankheit zu schützen. Sie stecken sich die Zeigefinger in die Ohren und schreien dabei laut „Ich wills nicht hör’n, ich wills nicht hör’n…“

Bei Deinem Thema kann ich Dir vielleicht aber doch einen guten Tip geben. Versuche es einmal bei dem durchaus seriösen American Mathematical Monthly
Ich könnte mir gut vorstellen, dass Deine Entdeckung dort gut aufgehoben ist. Zudem, ich selbst habe dort früher bereits einmal ein Problem veröffentlicht, als ich noch Student war, und es gab dort nicht den ganzen Standesdünkel von wegen, wer ich denn sei. Das Problem wurde fair begutachtet und abgedruckt. Dein Beitrag wäre allerdings ein Artikel und kein Problem.

Ich hoffe, Du kommsz damit weiter

Gruß

unimportant

Dilda_8603d5 · 16. November 2002 um 01:47

Aber was nicht sein kann, darfs doch auch nicht!!?
Toll, werdich gleich moin mal reinkuken!
Danke!
Hassu bock, den VUP-Club mit aufzumachen?
Kömmer uns inner VUP Laundsch öfterma unnerhalten.

Nity, moin, Manni.

der_halt · 16. November 2002 um 13:26

Schau in ne Mathe Newsgroup. Da glaube ich sind solche Probleme besser aufgehoben. Da finden sich meistens auch Leute die sich damit auseinandersetzen, wenn es denn vernünftig ist.

ciao
ralf

Dilda_8603d5 · 16. November 2002 um 15:55

etwas haltlos
frage ich mich, ob dieser Befehlston beabsichtrigt ist, und was du mit deinem posting bezwecken willst ?
Vermutlich willst du dieses Brett für wirklich wichtige Fragen wie das kleine Einmalkeins freihalten?

Oder versteht das einer?

ciao, moin, manni

unimportant_10321d · 16. November 2002 um 17:20

Hassu bock, den VUP-Club mit aufzumachen?

solange das nicht mit Investitionen verbunden ist.
Als VUP kriegt man eh keinen Kredit.

Ist aber ein reizvoller Gedanke. Als VUP wird man aber höllisch aufpassen müssen nicht plötzlich zum VIP zu mutieren, als Kuriosität sozusagen.

Da hab ich vor langem nämlich einmal einen Beweis dafür gesehen, dass es keine langweiligen - was ich mal als Synonym für unwichtig annehme - natürlichen Zahlen gibt. Und der ging so:

Gäbe es langweilige natürliche Zahlen, dann gäbe es auch eine kleinste unter ihnen und die wäre damit schon nicht mehr langweilig.

bis dann

unimportant

Dilda_8603d5 · 16. November 2002 um 21:19

Da beist sich ja schon das ‚very‘ ganz schön ‚un‘,
Und da gibts ja denn deinen Worten folgend (ätsch, also bist du schuld!) auch keine langweiligen Weiber. Denn da fallen ja 3 schomal raus:
das kleinste, das größte, und das durchschnittlichste.
Naja, zugegeben, Typen natürlich auch, aber da gibs immer noch die noch vollständigere Induktion…
Also (um an einen Disput im Deutschbrett zu erinnern), die „allervollständigste Induktion“ ist nonexistent.

Atschüß, moin, manni

der_halt · 17. November 2002 um 22:03

Hi,

frage ich mich, ob dieser Befehlston beabsichtrigt ist, und
was du mit deinem posting bezwecken willst ?

Aha, schön was manche Leute lesen. Ich habe einfach keine Lust groß rumzuschwafeln. Wenn mir das von Dir als Befehlston ausgelegt wird…

Vermutlich willst du dieses Brett für wirklich wichtige
Fragen wie das kleine Einmalkeins freihalten?

Ich wollte Dir lediglich einen Hinweis geben, wo solche speziellen math. Probleme im Allgemeinen besser aufgehoben sind. Das Fachpublikum ist dort ungleich größer. Und somit auch die Chance auf eine kometente Antwort - was ja nicht jedem gefallen muss.
Deine Polemik ist nicht gerade umwerfend.

Oder versteht das einer?

Du anscheinend nicht. Dann tut es mir leid.

ciao
ralf

Dilda_8603d5 · 18. November 2002 um 11:07

‚Mathema‘ sollte ‚Wundern‘ heißen, nicht ‚Wissen‘!
Hallo, Ralf!
Ich nehme an, du wirst auch anders denken, wenn du wie ich „schon etwas länger“ mit dem übermächtigen Wirken der Mathokratie zu tun gehabt hast.
Wer schon zehnmal in die Suppe reingeschaut hat, dem hilft es wenig, der Tip: „Schau doch mal tief in die Suppe rein, da findest du, glaube ich, noch Leckerbissen! Meistens jedenfalls, wenn es denn vernünftig ist.“
Möglicherweise bist du selbst einfach nur jung und unerfahren, und deine von mir als bloße zynische (Rat)Schläge empfundenen „klugen Bemerkungen“ sind wirklich nur in kauf genommene Agnoranz.
Ratschläge wirst du wohl selbst immer als zumindest nicht hilfreich empfinden, wenn sie nicht auf eigene Kenntnis (auch der Situation des „Beratschlagten“) bauen oder zumindest mit konkreten erfolgreichen Beispielen daherkommen.
Hättest du wenigstens mein „Möndchen“-posting gelesen (nur etwas weiter unten, in „Hippokraten gesucht“), wär es dir von selbst klarer geworden.
Und ich habe gerade hier im Forum gepostet (trotz des Überwiegens von oft hohler Potterei), weil sich hier doch auch das eine oder andere der Mathokratie gegenüber respektlose abgewimmelte Genie herumtummelt.
Ich möchte dich bitten, doch tatsächlich einmal zu berechnen:

2^(3/2)^(4/3)^(5/4)^^^^, solange das Papier reicht.
Und entsprechend:
(1/2)^(2/3)^(3/4)^(4/5)^^^^, solange das Papier reicht.

Und mit dem abzusehenden Ergebnis (so du es erkennen kannst) doch mal auch nur einen der Matheamten, die immer nur Antworten, nie aber Fragen haben, aber sich selbst überholen mit Kotaus gegenüber Oiler und Gauß und Konsorten, damit zu konfrontieren!
Und vielleicht als kleiner „Appetizer“:
Was gibt (1+1/2)*(1+1/4)*(1+1/16)*(1+1/256), also der Bruch in der Klammer immer nur weiterquadriert?
Und (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16)*(1-1/25)***? Aber altbekannt.
Und dennoch immer noch erstaunlich, oder?
Du bist sicherlich auch einer von denen, die es allerhöchstens als Witz angesehen haben (obwohl ich ernsthaft darüber sprach), wie ich zeigte, daß „Pythagoras“ nur beweist, daß ein rw Dreieck aus seinen beiden Teilen besteht. Und ich soll mich aber nicht beleidigt fühlen als „Witzbold“.
Wacht wieder auf! Seit ungehorsam!
Feiern und (dank)beten wollen wir erst nach der Arbeit.
Wenn wir denn „gearbeitet“ haben.
Und die „Arbeit“ ist schon unser Vergnügen.
Wenn man uns nur läßt.
Ich wette, du hattest auch einmal ein „mathematisches Wunder“! Und hattest aber dann erst „Halt“ gefunden.

Ciao, mathemanni