Moin!
Ich möchte anfangen, mich mit der HTML-Programmierung vertraut
zu machen
Dabei ist es zunächst mal wichtig, zu verstehen, dass HTML keine Programmiersprache ist. Dadurch lösen sich einige Fragen von selbst. Zum Beispiel, wie man in HTML Zufallszahlen macht oder Bedingungen oder Schleifen. Das sind alles Elemente von Programmiersprachen, das gibt es in HTML nicht.
HTML ist nur zur logischen Auszeichnung Deines Inhalts. Das heißt, Du zeichnest Überschriften mit einem geeigneten Tag aus ( bis ), Adressen ( ), Textabsätze ( ), wichtige Stellen () usw. Nichts, was Du in HTML machst, solltest u aufgrund der Optik machen. Dafür ist HTML nicht da.
Für die Optik, d.h. Layout und Design, lernst Du CSS. Diese beiden Sprachen sind zusammen ein Team, was für eine anständige Website unverzichtbar ist.
Leider bin ich kein Genie, was die direkte,
selbstständige Programmierung angeht.
Da hab ich Dir ja die Angst schon nehmen können, denn für statische Websites muss man nicht programmieren können. Wenn es dann später doch ein wenig mehr sein darf, kommst Du auch um sog. „serverseitige Programmiersprachen“ nicht drumrum, z.B. PHP. Aber immer langsam eines nach dem anderen 
Kann mir jemand einen Tipp geben, welche Programme zur
Webseiten Erstellung zu empfehlen sind?
Am besten ist ein einfacher Text-Editor oder einer mit „Syntax Highlighting“ für HTML/CSS (auch „HTML-Editor“ genannt). Die kriegst du wie Sand am Meer und idR auch kostenlos. Ob das Notepad, Notepad++, vi oder Phase5 ist, musst Du selber ausprobieren. Was Du alles an Extras brauchst oder wie Du den Editor bedienen kannst.
Sogenannte WYSIWYG-Editoren haben den Nachteil, dass sie eher minderwertigen HTML-Code produzieren. Wenn Du Dich erinnerst, dass man mit HTML den Inhalt logisch auszeichnet, kannst Du Dir vielleicht vorstellen, dass es Programm das nicht kann. Es kann nicht wissen, ob ein Wort, das Du eingibst, eine Überschrift sein soll oder was anderes. Für die Semantik bist Du selber zuständig, Editoren, die Dir den Code schreiben benutzen dafür meistens die falschen HTML-Tags.
Es soll ja welche
geben, wo man in einfachen Schritten schon etwas ordentliches
auf die Beine stellen kann.
Das ist richtig, das Ergebnis ist aber weniger als zufriedenstellend.
Denn Du musst immer bedenken, dass das WWW keine einfache Spielwiese ist, sondern mindestens ein komplexer Abenteuerspielplatz. Nicht nur, dass die vielen verschiedenen Menschen verschiedene Betriebssysteme und Browser haben, der eine hat einen großen Monitor, der andere einen kleinen, einer hat einen großen, sein Browserfenster aber nicht maximiert und daher weniger Platz für eine Website als der mit dem kleinen Monitor. Ein anderer hat schlechte Augen und muss die Schrift in seinem Browser erheblich vergrößern (wobei bei 0815-Websites dann meist das ganze Layout „auseinanderplatzt“), wieder andere sind blind und müssen sich Websites vorlesen lassen. Solche „Vorlesebrowser“ sind aber auf einen semantisch perfekten HTML-Code angewiesen, sonst lesen sie Unfug vor.
Es gibt da noch viel mehr zu berücksictigen, aber ich will Dich damit jetzt nicht demotivieren 
Viel Erfolg,
-Efchen