Hyperbel- Berührbedingung+ Spaltform

Wissenschaft Physik
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Hallo erstmal! Ich habe ein dringendes Problem: Mein Spezialgebiet für die Externisten Matura ist die Hyperbel, das bedeutet erstens, dass ich ziemlich auf mich allein gestellt bin und zweitens, dass ich bis Donnerstag einem fremden Prüfer meine 10- 15 Seiten abliefern muss.

Mein Problem ist, dass ich Beweise bzw. Herleitungen für die Tangentengleichung, Berührbedingung und was es sonst noch gibt, brauchen, und ganz schwierig dabei ist, dass ich sie selbst nachvollziehen können will! Ich hasse es nämlich, einfach abzuschreiben und dabei aber keine Ahnung zu haben.
Falls ihr einen tollen Link kennt, wo wirklich die BB von der Hyperbel (nicht Ellipse oder so!) erklärt wird, bzw. es mir in selbst erklären könnt, wäre ich euch ewig dankbar!!!

Liebe Grüße,
Irene

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Hi,

Hallo erstmal! Ich habe ein dringendes Problem: Mein
Spezialgebiet für die Externisten Matura ist die Hyperbel, das
bedeutet erstens, dass ich ziemlich auf mich allein gestellt
bin und zweitens, dass ich bis Donnerstag einem fremden Prüfer
meine 10- 15 Seiten abliefern muss.

Du hast aber gute Nerven :smile: Ob Tangentengleichungen und Co. 10 bis 15 Seiten füllen?

Also ich geb Dir mal ein paar Ansätze (aber so ausführlich nur weil es ein Notfall ist)

Hyperbelgleichung: x2/a2 - y2/b2 = 1

um an die Gleichung für eine Tangente im Punkt (x,y) zu kommen muss man erstmal die Steigung m der Tangente in diesem Punkt bestimmen. Ist diese dann bekannt, kann man über die bekannte Punktsteigungsform einer Geraden, nämlich m = (y-y1)/(x-x1) die Tangentengleichung bestimmen.

Also erstmal, wie bestimme ich die TAngentensteigung der Hyperbel im Punkt (x,y)?
Antwort: durch Bildung des Differntialquotienten natürlich.

Den Differentialquotienten kann man etwas geschickter berechnen, wenn man zunächst beide Seiten der obigen Hyperbelgleichung mit a2b2 multipliziert.
Man erhält dann b2x2 - a2y2 = a2b2

damit Du es deutlicher siehst, kannst Du das auch so schreiben:
b2x2 - a2(y * y) = a2b2

Wenn Du das nun nach x ableitest, kommst Du auf

2b2x - a2(y’y + yy’) = 0

hier wurde u.a. die Produktregel angewendet.
schöner zusammengefasst sieht das dann so aus:

2b2x - 2a2yy’ = 0

nach y’ aufgelöst ergibt das :

y’ = (b2/a2) * x/y

damit hast Du die Steigung der Tangente an eine Hyperbel am Punkt (x,y)

diese Steigung heisst m in der Punkt-Steigungsform einer Geraden.

allerdings heisst der konkrete Punkt, durch den die Gerade verlaufen soll in der Punktsteigungsform (x1,y1) und nicht (x,y). Also tauschen wir noch schnell (x,y) gegen (x1,y1) aus, was dann

m = (b2/a2) * x1/y1 ergibt

setze dies also an die Stelle, an der in der Punkt-Steigungsform m steht.

Du bekommst dann
(b2/a2) * x1/y1 = (y-y1)/(x-x1)

Das ist nun die Gleichung der Tangente an eine Hyperbel, durch den Punkt (x1,y1)

Du kannst sie natürlich durch umformen noch nach y auflösen oder in eine andere, schönere Form bringen

xx1/a2 - yy1/b2 = 1 wird gerne genommen.

Berührbedingung: Ich mach es mal nicht so ausführlich jetzt, Du hast ja selbst einen Kopf zum Denken :smile:
Im Prinzip läuft es so: Du hast zwei Gleichungen. Eine Hyperbelgleichung und eine Geradengleichung. Und in beiden Gleichungen gibt es jeweils die beiden Unbekannten x und y. Anders gesagt, Du hast ein Gleichungssystem von 2 Unbekannten. Es ist zwar kein lineares Gleichungssystem, aber dennoch kann man es auflösen.
Etwa so: die Gerade hat die Gleichung y = mx + b, also setze in der Hyperbelgleichung überall wo y steht, einfach mx+b ein. Das sollte eine Quadratische Gleichung ergeben. Nach x aufgelöst, erhält man logischerweise die x-Koordinaten der Schnittpunkte, wenn es überhaupt Schnittpunkte gibt. Diese x-Koordinaten in die Geradengleichung eingesetzt ergeben die zugehörigen y-Koordinaten.
Aber das ist gar nicht gefragt. Die Gerade kann entweder ganz an der Hyperbel vorbeigehen, es gibt gar keine Schnittpunkte und folglich können auch keine x-Koordinaten berechnet werden. Das macht sich so bemerkbar, dass der Teil, der beim Auflösen der quadratischen Gleichung unter der Wurzel steht, negativ ist und die Wurzel nicht gezogen werden kann, also kein x bestimmt werden kann.
Steht unter der Wurzel ein positiver Wert, dann hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen blabla +/- Wurzelaus(positiver Wert) also gibt es zwei Schnittpunkte, die Gerade schneidet die Hyperbel 2mal. Wenn die Gerade die Hyperbel berührt, dann kann sie nur einen Punkt mit ihr gemeinsam haben, also muss die quadratische Gleichung genau eine Lösung haben und das geht nur, wenn unter der Wurzel 0 steht, also x = blabla +/- Wurzelaus(0) = blabla.
Also ersetze in Hyperbelgleichung y durch mx + b. das ergibt quadratische Gleichung Löse nach x auf. betrachte den Term unter der Wurzel. Die BB lautet, dass dieser Term gleich NULL sein muss damit sich Gerade und Hyperbel berühren.

Wenn Du noch viel mehr Informationen über Hyperbeln brauchst, findest Du auch hier noch anderen Stoff:

http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html
http://mathworld.wolfram.com/HyperbolaInverseCurve.html
http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
http://mathworld.wolfram.com/KiepertHyperbola.html
http://mathworld.wolfram.com/RectangularHyperbola.html

Da dies alles auf englisch ist, hier noch ein mathematisches Wörterbuch Deutsch-Englich Englisch-Deutsch:
http://www.math.uni-goettingen.de/baule/wbuch.html

Ich hoffe das hilft Dir weiter und ich hoffe, ich hab es nicht zu babymässig für Dich erklärt.

Alles Gute für die Matura

unimportant

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Vielen herzlichen Dank für diese ausführliche Antwort!!
Es kann mir gar nicht babymäßig genug sein! :wink:
Irgendwie hab ich durch diesen Zeitdruck nämlich eine Art von Denkblockade und das passt gerade garnicht!

Also nochmals ein großes Dankeschön und liebe Grüße,
Irene

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Vielen herzlichen Dank für diese ausführliche Antwort!!

no prob

Es kann mir gar nicht babymäßig genug sein! :wink:

gib einfach Bescheid, wenn Dir irgendwas an meiner Erklärung nicht klar ist, ansonsten

good luck

unimportant