Hallo,
eine Frage aus reiner Neugier:
Was ist das Ergebnis von i hoch i?
Roman Sztyler
Hallo Roman,
eine interessante Frage. 
i^i = exp[i Log i] = exp[i(i\*pi/2)] = exp[-pi/2].
Viele Grüße,
Martin
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Hallo,
eine Frage aus reiner Neugier:
Was ist das Ergebnis von i hoch i?
um das Ergebnis zu verstehen erstmal kurz eine Erläuterung zu den komplexen Zahlen:
eine komplexe Zahl z=a+ib läßt sich auch darstellen als z=r(cos p+ i sin p) (Eulersche Formel), dazu kommt man, wenn man sich veranschaulicht, daß sich eine Komplexe Zahl als Punkt z(a,b) in der euklidischen Eben darstellen läßt (x-Achse mit reellen Zahlen (a), y-Achse mit imaginären Zahlen (ib), p=phi (hatte nur keine Lust das immer zu schreiben) der Winkel zwischen x-Achse und dem Ortsvektor zu z), wobei r der Betrag des Ortsvektors zu z ist (r=sqrt(a^2+b^2)).
Durch die Taylorreihe für cos p und i sin p kommt man dann dazu zu behaupten, daß z=r e^(i p) ist. p ist jedoch nur mit der Periode k2 pi eindeutig und damit ist auch eine komplexe Zahl nur bis auf diese Periode eindeutig, was sich gleich noch als wichtig erweisen wird.
Nun können wir uns daranmachen i^i zu bestimmen:
i=e^(i(pi/2+k 2 pi)) ln i= i(pi/2+k 2 pi) ln i^i= i i(pi/2+k 2 pi)=-pi/2-2k pi, also i^i=e^(-pi/2-2k pi), (ich habe das auch schon mit -pi/2+2k pi im Exponenten gesehen, wüßte aber nicht, warum dem so sein sollte).
Daran sieht man, daß sich für i^i verschiedene Werte ergeben:
…
k=-2: i^i=5.98*10^4
k=-1: i^i=11.32
k=0 : i^i=0.208
k=1 : i^i=3.88*10^-4
k=2 : i^i=7.25*10^-7
…(alle Werte natürlich gerundet).
Hoffentlich habe ich das einigermaßen verständlich erklärt.
Viele Grüße
Sebastian
Ergänzung: Log z
Eine kleine Ergänzung vielleicht:
Für komplexe z ist
Log z = log |z| + i * arg(z),
wobei _-pi den Winkel von z in der komplexen Ebene darstellt.
Gruß,
Martin_
Hallo,
i^i = exp[i Log i] = exp[i(i\*pi/2)] = exp[-pi/2].
Das ist nur eine Lösung. Allgemein ist
log i =i*pi(2n+1/2) mit einer bel. ganzen Zahl n
Und daraus folgt dann
i^i=exp[-pi(2n+1/2)]
Gruß
Oliver
Log z = log |z| + i * arg(z) + i * 2npi , n aus Z
Hallo Oliver,
Das ist nur eine Lösung. Allgemein ist
log i =i*pi(2n+1/2) mit einer bel. ganzen Zahl n
nun, im Prinzip hast Du natürlich recht: Der komplexe Logarithmus ist zunächst einmal nicht eindeutig.
Da man aber ungern mit mehrdeutigen „Funktionen“ arbeitet (zumindest in der Funktionentheorie oder komplexen Analysis), legt man sich (zugegeben: willkürlicherweise) fest und bezeichnet den Zweig, bei dem der Winkel zwischen -pi und pi liegt, mit Log z und gibt ihm sogar einen Namen: Hauptwert des Logarithmus. Die anderen Logarithmen bekommen übrigens gelegentlich auch einen Index und werden klein geschrieben: log_k. Mit dieser Schreibweise wäre dann Log = log_0.
Ähnliches macht man dann auch z.B. auch mit den Winkel- und Hyperbelfunktionen (Arcus- und Area-), die ja im Komplexen ebenfalls mehrdeutig wären.
Und daraus folgt dann
i^i=exp[-pi(2n+1/2)]
Ein schöner Nebeneffekt der besagten Einschränkung ist dann natürlich auch, dass wir bei der Potenzbildung Eindeutigkeit erhalten und die so entstehenden Funktionen z.B. mit den üblichen Mitteln der Analysis untersuchen können, ohne etwa mengenwertige Funktionen einführen zu müssen. Die Zahl i^i ist dann wirklich eine - und nicht eine ganze Teilmenge der komplexen Zahlen.
Viele Grüße,
Martin
Hmm, war wohl jemand schneller, hätte ich wohl doch nix zwischendurch essen sollen 
ich habe das auch
schon mit -pi/2+2k pi im Exponenten gesehen,
wüßte aber nicht,warum dem so sein sollte.
Weil k eine beliebige ganze Zahl ist, und damit ist auch -k eine beliebige ganze Zahl
Log z = log |z| + i * arg(z) + i * 2npi , n
aus Z
Ähnlich wie man bei sqrt(4) nicht definiert, dass der Wert +2 und -2 sein soll, legt man sich auch hier fest: Log z bezeichnet den Hauptwert des komplexen Logarithmus (n=0), ist also wie die Wurzel eindeutig (s. auch Beitrag weiter oben).
Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es im Komplexen verschiedene Zweige des Logarithmus gibt und damit auch verschiedene Potenzen. Sich ausgerechnet auf den Hauptzweig festzulegen ist willkürlich und auch nicht sinnvoll, da man so z.B. die Lösungsmenge einer Gleichung einschneidet! Man sollte also schön allgemein bleiben - wie üblich in der Mathematik.
Gruß
Oliver
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Hallo Oliver,
Sich ausgerechnet auf den Hauptzweig
festzulegen ist willkürlich und auch nicht sinnvoll, da man so
z.B. die Lösungsmenge einer Gleichung einschneidet! Man sollte
also schön allgemein bleiben - wie üblich in der Mathematik.
wie schon oben erwähnt, ist der Einwand prinzipiell durchaus richtig: Gleichungen können mehrelementige Lösungsmengen haben. Nur - und das habe ich mir wirklich nicht selbst ausgedacht - ist eine Zahl genau das: ein Element aus einer Menge. Die nachgefragte Zahl i^i ist zwar, worauf Du auch richtigerweise hinweist, gleichzeitig eine Lösung einer gewissen Gleichung, die auch noch andere Lösungen hat. Aber es handelt sich dabei eben nur um einen Wert. Genauso ordnet Log einem z genau einen Wert zu. Die zugehörige Gleichung mag da (ähnlich wie x^2 = 4 im Reellen) mehrere Lösungen haben - das ändert allerdings überhaupt nichts daran, dass die verwendeten und in der Mathematik klar definierten Begriffe (komplexe Zahl, Funktion wie z.B. die Wurzel) Eindeutigkeit verlangen. Ich fürchte, da beißt die Maus keinen Faden ab.
Auch wenn es willkürlich erscheint (man könnte die Wurzel ja auch als eine Funktion mit negativen Werten definieren), ist es trotzdem durchaus sinnvoll so vorzugehen und sich festzulegen. Ich würde es eher als einen Gewinn, denn als einen Verlust verstehen.
Grüße,
Martin
Hallo Mars,
bei beliebigen n ist die komplexe Zahl i^i genau so eindeutig, denn n ist zwar beliebig, aber fest! Also nach Festlegung eine Konstante sozusagen. Deine Festlegung auf den Hauptzweig ist deine persönliche Sache, aber keinesfalls so „definiert“ - im Unterschied zur Wurzel im Reellen.
Gruß
Oliver
Schau Oliver,
ich weiß nicht, wie ich Dich überzeugen kann, aber wir sollten nicht etwas derart Unklares stehen lassen.
bei beliebigen n ist die komplexe Zahl i^i
genau so eindeutig, denn n ist zwar beliebig,
aber fest!
Wir scheinen ein unterschiedliches Verständnis vom Gleichheitszeichen zu haben oder nicht die gleiche Logik. Beliebig, aber fest - bis morgen jemand anders fragt? Oder für immer? Wozu dann das n? Ich fürchte das ergibt so keinen Sinn. Die Ausdrücke auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens
i^i=exp[-pi(2n+1/2)]
stehen doch für bestimmte wohldefinierte Objekte. Da i^i keine Variable enthält, darf die rechte Seite das auch nicht - es sei denn, man kann sie durch einen bestimmten Wert ersetzen (hier n=0).
Oder soll nun in Deiner Schreibweise i^i = exp(-pi/2) oder i^i = exp(-5 pi/2) … alles möglich sein? Jeder darf sich eines nach belieben aussuchen und darf „später“ nicht mehr davon abweichen? Hans hat also ein anderes i^i als Peter?
Nein, der Ausdruck z^w soll doch für eine Funktion (in den Variablen z und w) stehen und einen festen, für alle Menschen gleichen Wert im Komplexen haben und keine Beliebigkeit beinhalten.
Vielleicht nochmal die kleine Analogie:
Die Funktion sqrt(x) ist im Reellen die Umkehrfunktion zum positiven Zweig von x^2. Diese ist auf ganz R nicht injektiv und besitzt dort daher keine Umkehrfunktion. Also schränkt man sie auf die positive Halbachse (willkürlich!) ein und erhält dort eine schöne Umkehrfunktion. Man schreibt deshalb nicht (nicht „schön allgemein bleiben“)
sqrt(4) = ±2 oder etwa = {2, -2},
sondern
x^2 = 4 => x = sqrt(4) oder x = -sqrt(4) => Es gibt ein n in {-1,1}: x= n sqrt(4).
Heißt: Wenn ich von dem x weiß, dass es die linke Gleichung erfüllt, dann handelt es sich um einen der beiden Werte rechts. Das machst Du doch mit dem sqrt-Zeichen genau so, oder?
Analog hierzu ist die Exponentialfunktion im Komplexen (anders als im Reellen) nicht injektiv, denn es gilt z.B.
exp(0) = 1 = exp(2 pi * i) = exp(4 pi * i) = usw.
Also schränkt man sich für die Umkehrfunktion aus diesem Grund auch hier ein, genauer: auf Winkel zwischen -pi und pi (dort ist die komplexe exp-Funktion injektiv) und schreibt z.B.
exp(z) = i => Es gibt ein n in Z: z = Log i + 2n pi * i.
Dabei ist Log i = log |i| + i pi/2 = i pi/2 wie „sqrt(4)“ eindeutig. Über die Lösung z, ähnlich wie oben über das x, ist eine bessere Aussage als die, dass es die besagte Form hat, nicht möglich.
Genau das meinst Du womöglich, die Begriffe gehen aber etwas durcheinander. Nur weil das eine im Reellen stattfindet, das andere im Komplexen, heißt nicht, dass die Regeln sich verändern. Auch wenn man sich an das eine bereits gewöhnt hat, an das andere aber vielleicht noch nicht.
***
Okay, ich habe jetzt auch mal in zwei Büchern nachgeschaut, ob es einer der Autoren anders - so wie Du es vorschlägst - macht und den Logarithmus „irgendwie“ mehrdeutig definiert. Weder Apostol („Mathematical Analysis“), noch Remmert („Funktionentheorie I“) gehen diesen Weg (finde ich letztlich nicht überraschend). Apostol benutzt tatsächlich genauso „Log“ für den (natürlich eindeutigen!) Hauptwert, während Remmert für die anderen Logarithmen ein einfaches „l“ verwendet und für den Hauptwert sogar direkt in Anlehnung an die reelle Analysis „log“.
Ich zitiere mal. Wenn nicht schon ich, vielleicht überzeugt Dich er:
„Wir bezeichnen mit log stets [Hervorhebung dort, Mars] den Hauptzweig des Logarithmus. In unserer Definition wird die Ebene C längs der negativen reellen Achse geschlitzt. Darin liegt natürlich eine Willkür.“
Und fährt fort mit der Erläuterung, dass die anderen (eingeschränkten!) Zweige genauso (eindeutige) Logarithmen sind (sie erfüllen ja die Bedingung exp[l(z)] = z). Ein paar Seiten später heißt es:
"In der geschlitzten Ebene C^- wird durch exp(a log z) eine Potenzfunktion mit dem Exponenten a erklärt. Wir reservieren die (gelegentlich gefährliche) [sic!] Schreibweise z^a vornehmlich für diese Potenzfunktion [definiert durch den Hauptwert], für jede Zahl a in Z handelt es sich nach dem Vorangehenden in der Tat um die übliche Potenzfunktion. Es gilt z.B.
1^a = 1, i^i = exp(-pi/2) = 0,2078795763…"
Aus einem Brief von Euler an Goldbach (1746):
„Letztens habe gefunden, daß diese expressio sqrt(-1)^sqrt(-1) einen valorem realem habe, welcher in fractionibus decimalibus = 0,2078795763, welches mir merkwürdig zu seyn scheinet.“
Grüße,
Martin
bevor ich groß rumlabere…
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage…
Das war nicht das Thema, aber lassen wir’s vielleicht besser.
Das war nicht das Thema, aber lassen wir’s vielleicht besser.
Genau das war das Thema! Wie sind komplexe Potenzen definiert?
Und im obigem Link steht es: es gibt verschiedenene Zweige derselben Potenz, die mit einem Paramter durchnummeriert werden.
Aber gut, lassen wir es.