Was bedeutet/worauf deutet „i“?
Das Rätsel der „komplexen Zahlen“
(Ziel dieses Postings ist zunächst, einen Überblick zu finden über die Bedeutung der Komplex-Rechnung in der Wissenschaft/Technik allgemein. Ich bitte um Beispiele!)
Ist i wirklich ein „Zahl“?
Noch Euler bezweifelte dies anfangs.
Dabei „feiern“ die „komplexen Zahlen“ ja vor allem in der Naturwissenschaft „größte Erfolge“, insbesondere überall, wo es um orthogonale Phänomene geht, wie zum Beispiel bei Elektro/Magnetodynamik. Inwiefern ist diese aber wirklich mehr als „die (untransversale) Elektrodynamik“? Ist „Elektron“ nicht auch der (griechische) Name für (magnetischen) Bernstein?
Und wenn der komplexe Ausdruck 1 + 1i eine Zahl ist, was zählt er dann?
Naja, man könnte mit gleichem „Recht“ fragen, was denn „reelle Zahlen“, z.B. e oder pi oder auch nur SqRt[2], „zählen“. Imgrunde auch nichts. Sie sind eher „Maße“, Maße im Kontinuum.
Imgrunde zählen bei den „rationalen Zahlen“ aber ja auch nur die Zähler. Und der Nichtmathematiker sieht den Mathematiker doch immer nur „mit Zahlen und Formeln“ hantieren, und eine „Formel“ ist „i“ offensichtlich nicht.
Bei den „komplexen Zahlen“ liegt die Frage aber offener, denn „gezählt“ werden ja jedenfalls „noch extra“ die reellen bzw. komplexen Teile,
zB z = 3*1 + 4*i.
Aber welche Bedeutung hat die Frage, ob i eine Zahl ist oder nicht? Es ist ja auf jeden Fall „Teiler einer Zahl“, nämlich zB von -1; sogar deren Wurzel.
Und (1+i)*(1-i) = 2. Die Größe „i“ steckt auf jeden Fall „in den Zahlen“, oder, locker gesagt, „hinter den Zahlen“.
Nivelliert man (zunächst „rechentechnisch“) aber, wie „die Mathematik“, mit der Erfindung des "komplexen `Zahlen´körpers den Unterschied zwischen „imaginären“ Größen und wirklich zählenden/maßangebenden Zahlen, so wird möglicherweise ein nicht zu leugnendes tieferes Phänomen „zu unrecht“ entzaubert.
Ein Rätsel, daß mit i^i = e^[-pi/2] = ~0,207879… nur einen weiteren Ausdruck findet, neben der „Eulerschen Formel“ e^[i\*pi] = -1.
Manche mathematischen Problem lassen sich offensichtlich zumindest a u c h über den „komplexen“ Umweg lösen, wie z.B. die Frage der Konvergenz des
unendlichen Produktes {(1+1/n^2)}, n>0, oder auch die
unendliche Summe {(1/[a+n^2]},a ele |C, n >= 1.
Mich fasziniert die offenbare Enthaltenheit der Zweidimensionalität in den „komplexen Zahlen“. Es ist allerdings auch die Frage, ob sich der „Betrag“ einer komplexen Zahl als Anwendung „des Pythagoras“ ergibt, oder ob, umgekehrt, "der „Pythagoras“ ein Ergebnis der Tatsache ist, daß eine aufeinanderfolgende Weiter- und Rückdrehung (Moivresche Multiplikation bei bloßer Gültigkeit der Rechengesetze wie dem der Distributivität) im Effekt eine bloße „nichtgedrehte Streckung/Stauchung“ ist.
Denn (a*sinx + i*a*cosx)*(a*sinx - i*a*cosx) = a^2.
Es ist offensichtlich nicht so, daß in irgendeiner „anderen Welt“ mit windschiefen Ziegeln stabile Häuser gebaut werden. Die Orthogonalität scheint, mit der „zentralen“ Bedeutung der „Zahl“ pi, ein universelles (Bau)Prinzip zu sein, sowie anscheinend die „Fibonaccizahlen“ ein universelles Entwicklungsprinzip repräsentieren (neben dem infinitesimal-exponentiellen).
Da ich weniger Einblick in Einzelwissenschaften habe, bitte ich zunächst einmal um viele viele Beispiele für die Lösung/Beschreibung von Problemen mithilfe von „komplexen Zahlen“.
Mit freundlichen grüßen,
Manfred Jj.
