Ich benötige Hilfe beim Beweis von Teilbarkeit

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptung durch vollständige Induktion:

Für alle n∈ℕ0 gilt: 6∣∣∣(n4−n2)

Bin so vorgegangen:

Behauptung:

(n4−n2)=6t;n∈ℕ

Induktionsanfang:

14−12=0

0:6=0

od. 6x0=0

Induktionsvorraussetzung

Für ein beliebiges, aber fest gewähltes n∈ℕ gelte: n4−n2 ist teilbar durch 6.

Induktionsschritt:

(n+1)4−(n+1)2
=(n+1)2(n+1)2−(n+1)2
=(n2+2n3+n2+2n3+4n2+2n+n2+2n+1)−(n2+2n+1)
=n4+4n3+6n2+4n+1−n2−2n
=n4−n2+4n2+6n2

So habe ich doch bewiesen, das n4−n2 (nach I.V.) und 6n2 durch 6 teilbar sind.
Wie kann ich die Terme 4n2 und 6n2 so umformen, dass diese auch durch 6 teilbar sind?

Habe ich formal in der Induktion alles richtig gemacht? Oder muss immer im Schritt =6t stehen??

Liebe Grüße
Levke

#2

moin;

ich glaube, du meinst jeweils bei den nachgestellten Zahlen die Potenzen.
Du hast dich hier im IS verrechnet.
(n+1)^4-(n+1)^2=n^4-n^2+6n^2+4n^3+2n.

Dass n^4-n^2 durch 6 teilbar ist, folgt aus deiner Induktionsvoraussetzung. 6n^2 ist logischerweise für jedes natürliche n (da sogar für jedes natürliche n^2) durch 6 teilbar, und 4n^3+2n ebenfalls. Da nun jeder einzelne Summand durch 6 teilbar ist, muss auch die Summe durch 6 teilbar sein. Und das war es auch schon.

mfG

#3

Super!

Ja stimmt da habe ich mich verrechnet!

Aber mit welcher Begründung ist 4n^3+2n durch 6 teilbar? Das ist mir leider noch nicht klar!

Liebe Grüße

#4

Hallo,

Aber mit welcher Begründung ist 4n^3+2n durch 6 teilbar? Das
ist mir leider noch nicht klar!

kein Grund zur Sorge: Das ist auch nicht offensichtlich. Deshalb musst Du einfach nochmal – sozusagen als „Beweis im Beweis“ (was in der Mathematik etwas ganz normales ist) – zeigen, dass 2 n3 + n durch 3 teilbar ist. Und jetzt rate mal, mit welcher Beweismethode.

Gruß
Martin

#5

super :smile:

als beweis reicht also aus, wenn die Summe durch 6 teilbar ist, dann muss sie auch durch 3 teilbar sein da die hälfte??

#6

als beweis reicht also aus, wenn die Summe durch 6 teilbar
ist, dann muss sie auch durch 3 teilbar sein da die hälfte??

Ich glaube, Du meinst das richtige… :wink:

Wenn Du gezeigt hast, dass 2 n3 + n durch 3 teilbar ist, weißt Du damit automatisch auch, dass
   2000 n3 + 1000 n durch 3000 teilbar ist,
und dass
   10 n3 + 5 n durch 15 teilbar ist,
und ebenso dass
   4 n3 + 2 n durch 6 teilbar ist.

Schema durchschaut?

Oder ganz allgemein: Wenn Du weißt, dass (a) „Dings durch t teilbar ist“, dann weißt Du automatisch auch, dass (b) „k·Dings durch k·t teilbar ist“. Um (b) zu beweisen, reicht somit der einfachere Beweis von (a) aus.

Martin