Die Aufgabe lautet folgendermassen:
Approximiere die Funktion f bei x0 bestmöglich durch eine lineare Funktion g. In welchem Intervall um x0 = 1 ist der absolute Fehler e (epsilon) kleiner als angegeben?
f: y= x^2 - 3x, e1 = 1, e2 = 0.25, 23 = 0.01
Zuerst habe ich einmal den Differenzialquotienten ausgerechnet, dies hat -1 ergeben, und eine Tangentengleichung die y = -x-1 heisst. So weit so gut.
Doch wie weiter? Wie rechne ich den absoluten Fehler e aus?
Ich habe zwar eine Formel: absoluter Fehler = |f(x0 + deltax)- g(x0 + deltax)|
Kannst du mir weiterhelfen?
ich wäre total froh, denn ich habe am montag eine Prüfung.
Danke jetzt schon für deine mühe
Leider kann ich dir diesbezüglich nicht helfen. Mit linearen Optimierung habe ich mich noch nie auseinandergesetzt. Darf ich fragen, welche Klasse und wellche Schulform???
Sorry.
Leider kann ich dir diesbezüglich nicht helfen. Mit linearen
Optimierung habe ich mich noch nie auseinandergesetzt. Darf
ich fragen, welche Klasse und wellche Schulform???
Sorry.
Kein Problem, jemand anders konnte mir zum glück weiterhelfen. 11. Klasse, Gymnasium
Hallo Abeille,
also ich muss gleich mal sagen, dass ich mit dem Thema „absoluter Fehler“ seit ewigen Zeiten nichts mehr zu tun habe und deshalb keine letztgültigen Aussagen machen kann. Ich kann aber anbieten, dass ich mitdenke und vielleicht aktiviert das ja deine eigenen Erinnerungen zu diesem Thema.
Also: Du hast eine Funktion und eine Tangente im Punkt x0. Dann liegt die Sache doch so, dass die Tangente den Graphen von f bei x0 berührt und rechts und links davon sich vom Graphen entfernt.
Aus deiner Formel entnehme ich, dass es bei dem „absoluten Fehler“ um den Abstand zwischen der Tangente und dem Graphen geht. Bei x0 ist dieser Fehler 0, bei größerer Entfernung wächst er. Es gehl also nur um den Abolutbetrag der y-Differenz von Tangente und Graph.
Für e1=1 musst du also die Frage beantworten: Für welchen x-Wert liegen der y-Wert der Parabel und der y-Wert der Gerade (Tangente) genau 1 auseinander?
Also musst du die Gleichung f(x)-g(x)=1 lösen (und da der Abstand ja in beide Richtungen gehen kann, auch gleich noch f(x)-g(x)=-1). Wenn du für f und g die Terme einsetzt, zusammenfasst und die 1 oder -1 auf die linke Seite bringst, erhältst du eine quadratische Gleichung, die du mit der Lösungsformel lösen kannst. Als Lösung erhältst du dann die beiden x-Werte, für die der y-Abstand zwischen den beiden Linien genau 1 ist. Bei der einen Formel wirst du zwei Lösungen erhalten, bei der anderen keine, weil der Graph die Tangente nicht schneidet sondern nur berührt und deshalb der Graph sich immer auf derselben Seite befindet, deshalb tritt nur einer der beiden Fälle für den Abstand (entweder 1 oder -1) ein.
Diese beiden Lösungen kannst du ja noch mal in f und in die Tangentengleichung einsetzen um dein Ergebnis zu überprüfen. Wenn du alles richtig gemacht hast sollten der Funktionswert und der y-Wert der Tangente um 1 auseinanderliegen.
Die beiden x-Werte sind dann die Grenzen des gesuchten Intervalls.
Genauso gehst du bei den anderen epsilons vor.
Viele Grüße und viel Erfolg bei der Prüfung,
Peter
PS Ich werde vor heute Abend nicht mehr am Rechner sein, ich hoffe du kommst jetzt klar.
leider kann ich erst heute antworten, da ich im Urlaub war.
Zuerst habe ich einmal den Differenzialquotienten
ausgerechnet, dies hat -1 ergeben, und eine Tangentengleichung
die y = -x-1 heisst.
Der Differentialquotient ist eine Greunzwertbildung. In diesem Fall kommt nicht -1 heraus, sondern die Ableitung der Funktion f, nämlich 2x-3. Dies ist dann auch die lineare Funktion g. Um nun noch festzustellen, wie groß dass DeltaX sein darf, damit der Gesamtfehler kleiner als die e’s sind, nimmt man diese Formel heran:
Ich habe zwar eine Formel: absoluter Fehler = |f(x0 + deltax)-
g(x0 + deltax)|
im ersten Fall (e1 = 1) also:
1 > |f(1 + DeltaX) - g(x + Delta X)|
(denn der absolute Fehler soll in diesem Fall kleiner als 1 sein)
Einmal die Funktionen einsetzen und nach DeltaX auflösen. Und somit hast du dann einen Betrag, den du zu x0=1 addieren und aubtrahieren musst, um die Intervallgrenzen zu erhalten.
Ich hoffe, dass du noch zeitig Hilfe finden konntest und die Prüfung gut über die Runden gebracht hast.