Ich brauche ganz kurz ne Ableitung! Kann das nicht

Wissenschaft Mathematik
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Hallo!
Ich habe hier eine FUnktion von der ich um eine Aufgabe zu lösen die erste Ableitung brauche, leider weiß ich nicht wie man sie bildet:

4000*ln(e(^0,1x)+k)

Ich weiß nicht wie man das mit dem natürlichen Logarithmus ableitet…
Und ob man dann da innen drin nochmal Kettenregel anweden muss
oder gar noch mehr komische Regeln?
Hilfe!!!
Hoffe hier kennt sich jemand besser aus…
Vielen Dank schonmal
Grüße

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Hallo Tina-Helen!

4000*ln(e(^0,1x)+k)

Boa das is ziemlich schwierig… ich wage mal einen Lösungsversuch-ohne Garantie!

Zuerst würde ich das e^(0,1x) ableiten ergibt 0,1*e^(0,1x).
Anschließend ln ableiten. Innere Gesammtableitung ist 0,1*e^(0,1x). äußere ergibt 1/(e(^0,1x) +k). Zusammengebastelt also
f’(x)=(400*e^(0,1x))/(e(^0,1x)+k).

Wie gesagt ohne Garantie!

Greetings Xaver

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Hallo

ist

 0.1 x + k 
4000 ln e

gemeint?

Dann wirds einfach:

wegen

 x 
ln e = x

wird

 0.1 x + k 
4000 ln e =4000 (0.1 x + k)

Das sollteste lösen können.

Gruss

Ratz

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

4

4000*ln(e(^0,1x)+k)

0.1 x + k
4000 ln e

gemeint?

Das wär schön, aber es ist 4000*ln (e0.1x+k) gemeint. Siehe Klammern.

Gruß,

Steffie

5

Hallo Tina-Helen!

4000*ln(e^(0,1x)+k)
Und ob man dann da innen drin nochmal Kettenregel anweden muss
oder gar noch mehr komische Regeln?

Xavers Lösung war schon richtig; da aber „ohne Garantie“ und auch ohne Theorie, versuche ich hier noch mal, den theoretischen Aspekt dazuzuliefern und auch meine persönliche Methode, wie ich keine Ableitung vergesse.

Zunächst die Theorie. Du kennst die Kettenregel: [f(g(x))]’=f’(g(x))*g’(x). Dein Problem ist nun, dass g(x) selbst wieder zusammengesetzt ist und Du es nicht einfach so ableiten kannst, also g(x)=g(h(x)). Aber da hilft ja wieder die Kettenregel: [g(h(x))]’=g’(h(x))*h’(x), und eingesetzt in die obige Gleichung ergibt sich [f(g(h(x)))]’=f’(g(h(x)))*g’(h(x))*h’(x), also einfach alles hintereinandermultiplizieren.

Und nun der „Trick“ (es ist ja eigentlich nichts Wildes, aber ich find’s hilfreich): Die Formel fängt ja meist mit der äußeren Ableitung an; aber da es ja glücklicherweise das Kommutativgesetz gibt, können wir auch innen anfangen. Also suchen wir uns die innerste Funktion, die wir ohne Probleme ableiten können. Ist e^(0.1x) zu schwer? Dann nehmen wir erst einmal (0.1x)’=0.1, dass können wir dann schon mal als ersten Faktor der Lösung hinschreiben. Und nun tun wir so, als wäre unser 0.1x selbst die Variable (z.B. y) und leiten danach ab. Was kriegen wir nun hin? Den Logarithmus bestimmt noch nicht, aber (e^y+k)’=e^y=e^(0.1x), also das als zweiten Faktor. Nun brauchen wir uns darum nicht mehr zu kümmern, also (e^(0.1x)+k)=z zum Ableiten. Und (4000*ln(z))’=4000/|z| - wenn k>0 ist, können wir auch die Betragsstriche weglassen, weil z dann positiv ist - bleibt als dritter und letzter Faktor stehen, insgesamt also:
(4000*ln(e^(0.1x)+k))’=0.1*e^(0.1x)*4000/|e^(0.1x)+k|=400*e^(0.1x)/|e^(0.1x)+k|.

Liebe Grüße,
Immo

6

Und nun der „Trick“ (es ist ja eigentlich nichts Wildes, aber
ich find’s hilfreich): Die Formel fängt ja meist mit der
äußeren Ableitung an; aber da es ja glücklicherweise das
Kommutativgesetz gibt, können wir auch innen anfangen.

Im Allgemeinen ist das allerdings nicht richtig. Die Kettenregel lautet
(f(g(x))’=f’(g(x))g’(x)
also äußere mal innere Ableitung und nicht
(f(g(x))’=g’(x)f’(g(x)).
Für den Schulstoff ist das vielleicht irrelevant, aber wenn man z.B. mit Jacobi-Matrizen rechnet klappt „innere mal äußere“ nicht, sondern nur „äußere mal innere“.

hendrik

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Hallo Hendrik,

wenn man z.B. mit Jacobi-Matrizen rechnet klappt „innere mal
äußere“ nicht, sondern nur „äußere mal innere“.

Das ist mir durchaus bewusst (in diesem Fall fang ich auch hinten an zu schreiben); aber deshalb schrieb ich ja explizit:

da es ja glücklicherweise das Kommutativgesetz gibt

Wo dies nicht gilt, da geht’s natürlich nicht.

Liebe Grüße,
Immo