Hallo The Trutzels.
Eine kleine Info vorab:
Meine Antwort stellt keinerlei Rechtsberatung dar sondern soll dir nur als kleine Hilfestellung dienen.
Eine fristlose Kündigung ist im Allgemeinen schwierig denn sie hat meist eine, von der Agentur für Arbeit verhängte, Sperrfrist von bis zu 12 Wochen zur Folge.
In der Probezeit können beide Vertragsparteien ohne Angabe von Gründen mit einer Frist von 2 Wochen kündigen.
Eine fristlose Kündigung kann, Probezeit hin oder her, bei Vorliegen von gravierenden Gründen, außerordentlich, also ohne Einhaltung von Fristen, erfolgen.
In deinem Fall stellt sich das Ganze ein wenig schwierig dar.
Wann soll der Vorfall laut deines Arbeitgebers stattgefunden haben? Während der Zeit deiner Erkrankung? Dies wäre dann ein ziemlich fadenscheiniger Grund dich loszuwerden.
Natürlich sollte man sich gegen falsche Aussagen wehren und solch eine Anschuldigung nicht einfach hinnehmen. Schon gar nicht wenn die Aussage Urkundenfälschung und Diebstahl lautet.
Dein Arbeitgeber ist natürlich in der Beweispflicht.
Sollte er die Aussagen nicht beweisen können handelt es sich um eine sogenannte Verdachtskündigung (nicht erwiesener Verdacht.
Ich empfehle dir dringlichst dir rechtliche Beratung bzw. Beistand zu holen. (!!!)
Zum Beispiel kannst du zum zuständigen Arbeitsgericht gehen oder du suchst dir einen fachkundigen Anwalt.
Gegen die Kündigung wird dann Kündigungsschutzklage erhoben.
Vielleicht hilft dir auch dieser Link weiter --> http://www.arbeitsrecht-ratgeber.de/arbeitsrecht/arb…
Selbst wenn eine Weiterbeschäftigung nicht das oberste Ziel ist oder der Arbeitgeber unter keinen Umständen bereit ist, dich weiter zu beschäftigen, so sollte doch Folgendes erreicht werden, (schon allein um Probleme mit der zuständigen Agentur für Arbeit zu vermeiden):
Als Beendigungsdatum für das Arbeitsverhältnis wird der Termin vereinbart, zu dem der Arbeitgeber unter Einhaltung der Kündigungsfrist ordentlich hätte kündigen können.
Der Arbeitgeber gibt eine Erklärung des Inhalts ab, dass er die Vorwürfe, die ihn zu der Kündigung veranlasst haben, nicht länger aufrecht erhält.
Ich hoffe ich konnte dir ein klein wenig helfen. Doch bitte bedenke–> Es handelt sich nur um meine eigene Meinung und stellt, wie bereits erwähnt, keine Rechtsberatung dar denn die genauen Zusammenhänge und Tatsachen kenne ich nicht.
Ich wünsche dir viel Glück und Erfolg! Lass dich nicht so einfach unterkriegen 
Perlentaucherin