Hallo!
Ich versuche seit ein paar Tagen ein mathematisches Problem zu lösen - erfolglos. Vielleicht kann mir ja einer von euch helfen.
Das Problem ist folgendes:
Läuft die Summe
lim n->unendlich 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n
gegen unendlich oder gegen einen Grenzwert - und wenn ja: Gegen welchen Grenzwert?
Ich versuche die ganze Zeit eine explizite Vorgabe der Folge
= + 1/n
zu finden. Damit ließe sich das Problem vermutlich lösen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
bis dann. FloC
lim n->unendlich 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n
Das ist die sogenannte harmonische Reihe. Allerdings ist die ganz und gar nicht harmonisch, sie divergiert nämlich, der Grenzwert ist unendlich. Warum? Ganz einfach:
1/3+1/4=7/12 > 1/2
1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2
…
Genauer:
1/3 ist größer als ein Viertel, also ist die Summe größer als zwei Viertel. 1/5, 1/6, 1/7 ist größer als ein Achtel, also ist die Summe größer als 4/8=1/2. Das kannst Du so weiterführen, immer 2k
Reihenglieder kannst Du durch 1/2 abschätzen. Also ist 1/(2k-1+1)+…+1/(2k immer größer als 1/2
In der oben genannten Reihe addierst Du also immer Summanden, die größer als ein halb sind (wenn Du sie zusammenfasst), und das geht eindeutig gegen unendlich.
Die harmonische Reihe lebt übrigens ein Leben am Rande der Legalität: Wenn das n im Nenner mit einer Potenz versehen ist, die auch nur ein kleines bischen größer als eins ist, konvergiert die Reihe. Das nennt man dann die Riemannsche Zeta-Funktion, aber daran beißt man sich die Zähne aus
Hi!
Oh man vielen Dank! Ich wollte eigentlich nicht aufgeben und den Beweis selber finden aber jetzt sehe ich das es meine Fähigkeiten wohl ein wenig überstiegen hätte - zumal ich nicht im Traum daran gedacht hätte das die Folge konvergiert 
.
bis dann. FloC
Hi,
endet diese nicht bei e oder so?
fragt:
Frank
Selber Hai,
endet diese nicht bei e oder so?
Nö, die „endet“ bei unendlich
Gruß
Burkh
denn man tau!
zumal ich nicht
im Traum daran gedacht hätte das die Folge konvergiert
Ääh, sie konvergiert ja auch nicht. Zumindest nicht im eigentlichen Sinne, sondern nur uneigentlich
Mathe macht Spaß!
Hi
Das Problem ist folgendes:
Läuft die Summe
lim n->unendlich 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n
gegen unendlich oder gegen einen Grenzwert
Schöne Aufgabe.
Du musst einfach nur die Reihe umsortieren, dann siehst du, dass sie divergiert.
Für beliebiges n>=2^v, v aus N, gilt nämlich:
sn
= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n
>=1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5+…+1/8) + … + (1/(2^(v-1)+…+1/2^v)
>= 1 + 1/2 + +2*1/4 + 4*1/8 + … + 2^(v-1)*1/2^v
= 1 + v/2
Und wenn jetzt v gegen unendlich geht, dann geht obige Summe „erst recht“ gegen unendlich.
Noch eine Bemerkung: wenn man in obiger Summe nicht alle Zahle aus N benutzt, sondern nur die Primzahlen, also
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …
dann geht sogar diese Summe gegen unendlich!!
Das beweist wiederum zweierlei:
Schön nicht?
Gruß
Oliver
Halo Flunder,
endet diese nicht bei e oder so?
Nö, die „endet“ bei unendlich
Welche ist das dann, die e ergibt? Ich dächte, die war auch so ähnlich.
denn man tau!
? Tau!
Gruß
Fra.
Hallo Frank
endet diese nicht bei e oder so?
Nö, die „endet“ bei unendlich
Welche ist das dann, die e ergibt? Ich dächte, die war auch so
ähnlich.
meinst Du
e=∑n=0∞1/n! ?
Gruß
Sebastian
Hi Sebbl 
,
meinst Du
e=∑n=0∞1/n! ?
Jedenfalls geht (1+1/n)^n bei n–
Jedenfalls geht (1+1/n)^n bei n–
zumal ich nicht
im Traum daran gedacht hätte das die Folge konvergiertÄäh, sie konvergiert ja auch nicht. Zumindest nicht im
eigentlichen Sinne, sondern nur uneigentlich
Sorry! War ein Versprecher: Ich meinte natürlich „zumal ich nicht im Traum daran gedacht hätte, dass die Folge DIVERGIERT .“
Ab- und andere Ansätze
Hallo, Florian, hallo Froinde der Tanzmathik!
Leider ist mir unbekannt, welche Vorkenntnisse ihr wirklich haben tut, und gehe mal davon aus, daß euch die partielle Integration und möglichst auch das „Sinmusprodukt“ nicht unbekannt ist.
Ich habe einen Sonderbeweis für die Divergenz der „Harmonischen Reihe“ des Grades 1, also auf doitsch, die zu untersuchende „unendliche“ Summe
1 + 1/2 + 1/3 ++++ 1/n +++, in meiner editorfreien Schreibe limSumme{1/k}0oo oder kürzer S{1/n}0oo nähert dieser sich natürlich rasant dem Wert 1, denn schon (1/2)^10 = 1/1024 = ~ 0,001.
Korollant:
Daß Zeta(0) = oo*1 = oo sowieso, und Zeta(1) = die besagte (un)harmonische Reihe oben auch divergiert, aber
Zeta(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ++++++ = S{1/n^2},00, mit der man jede Summe in ein Produkt umwandeln kann, insbesondere unendliche Summen in unendliche Produkte, auf die dann die Gammafunktion anwendbar sein tutet. Setz doch endlich mal einer (möglichst öffentlich) meinswegen einmal x = 100 und einmal x = 1000 ein und kuke was rauskommt!"
Natürlich ergibt sich die richtige Lösung 3 auch schon aufgrund des Distributivgesetzes für verschwindenden x Wert!
Turmbau
Hallo Florian,
in der Praxis bedeutet das, daß man z.B. Quader so zu einem schiefen Turm stapeln kann, daß der Überhang größer wird als die Länge eines Bausteins. Das funktioniert sogar schon mit Münzen! Kann man Wetten am Biertisch gewinnen, mit sowas.
Mit herzlichem Gruß,
Wolfgang Berger
Das beweist wiederum zweierlei:
- gibt es unendlich viele Primzahlen
Also, das geht viel einfacher als über Konvergenzbetrachtungen von Reihen.
- gibt es „mehr“ Primzahlen als Quadratzahlen, denn 1 + 1/4 +
1/9 + 1/16 + … geht gegen einen Grenzwert.
(Mathematisch korrekt heißt es: Die Menge der Primzahlen liegt
dichter in N als die Menge der Quadratzahlen.)
*hust* Dem muß ich energisch widersprechen. Es gibt genau so viele Primzahlen wie Quadratzahlen, nämlich abzählbar unendlich viele. Und die aussage „dicht“ kann man nur in normierten Räumen machen, Welche Norm willst du nehmen? die Menge der natürlichen Zahlen ist diskret. Und der komparativ „dichter“ ist mathematisch nicht definiert.
Schön nicht?
Nee, nicht wirklich!
Chris
Moin nochmal!
Du willst also tatsächlich mathematisch definieren, daß es
genausoviele gerade wie ungerade Zahlen gibt?
Nein, das muß ich nicht definieren (dann gäb’s da ja auch nichts zu beweisen), das ist beweisbar.
Ich habe das mal so gelernt, daß zwei Mengen gleichmächtig heißen (zu deutsch: gleich viele Elemente haben), wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. OK, das sagt den meisten hier vermutlich nichts; das soll heißen, daß ich eine Abbildung finden kann, die jedem Element aus der ersten Menge genau ein Element der zweiten Menge zuordnet, und zwar so, daß es kein Element der zweiten Menge gibt, dem kein Element der ersten Menge zugeordnet wird.
Beispiel: Die Mengen A = (1, 2, 3) und B = (3, 4, 5) sind gleichmächtig. Ich kann nämlich die Abbildung f : (1 wird auf 3 abgebildet, 2 auf 4, 3 auf 5) definieren. Jede Zahl der Menge B (3, 4, 5) wird genau einmal erreicht, und ich habe jeder Zahl aus A (1, 2, 3) eine Zahl zugeordnet.
Beispiel: Die Mengen A = (1) und B = (2, 4) sind nicht gleichmächtig. Ich mache folgende Abbildung g: (1 wird auf 2 abgebildet). Damit habe ich jeder Zahl aus A eine Zahl in B zugeordnet, aber nicht jede Zahl in B wurde eine Zahl in A zugeordnet (4 hat kein Urbild). Ich kann noch die andere Abbildung ausprobieren: h: (1 wird auf 4 abgebildet), was aber auch nicht wirklich zum Erfolg führt. Das sind aber auch schon alle Abbildungen, die in Frage kommen, also sind die Mengen nicht gleichmächtig.
Anmerkung: Wie man am zweiten Beispiel sieht, ist es nicht wichtig, daß _alle_ Abbildungen zwischen den beiden Mengen 1:1-Abbildungen sind, sondern nur, daß es _eine_ (lies: mindestens eine) mit diesen Eigenschaften gibt.
Nach dem Vorgeplänkel mal zu dem Beispiel mit der Straße. Auf der einen Seite sind die geraden Zahlen: A = (2, 4, 6, 8, …) und auf der anderen Seite die ungeraden (1, 3, 5, 7, …). Ich mache nun die Abbildung f : (einer Zahl m aus A wird die Zahl (m-1) in B zugeordnet). Damit habe ich eine Abbildung definiert, die jeder geraden Zahl eine ungerade zuordnet, und umgekehrt wird auch jeder ungeraden Zahl eine gerade zugeordnet. Die beiden Mengen sind damit gleichmächtig.
Anmerkung: Daß die beiden Mengen „unendlich groß“ sind, spielt offenbar keine Rolle, kann aber zur Verwirrung führen:
Beipiel: Ich kann auf den Mengen oben auch die Abbildung g : (einer Zahl m aus A wird die Zahl (2m - 1) in B zugeordnet). Damit werden nur die Zahlen 3, 7, 11, … erreicht, also sozusagen „die Hälfe von B“. An dieser Abbildung kann man halt nicht sehen, daß die beiden Mengen gleichmächtig sind, aber das ist ja auch gar nicht gefordert. Was kann schon die Mathematik dafür, wenn ich meine Abbildung so ungeschickt wähle!
Nun zu den Primzahlen. Erstmal (etwas offtopic, aber ich möchte mich von der Seite auch nicht mathematisch angreifbar machen):
Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis: Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen. Dann gibt es eine größte Primzahl P_n. Wir bilden das Produkt aller Primzahlen
p := Produkt (i=1…n) P_i
und addieren 1. Dann ist die Zahl, die wir dort herausbekommen, von allen Primzahlen nur mit dem Rest 1 teilbar (weil wir das so konstruiert haben). Also wird die Zahl von keiner bisher bekannten Primzahl geteilt, sie ist demzufolge entweder selbst eine Primzahl oder wird von einer Primzahl geteilt, die größer ist als P_n. Also war die Annahme, daß P_n die größte Primzahl ist, falsch, also gibt’s unendlich viele Primzahlen.
Wir numerieren unsere unendlich vielen Primzahlen durch: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7, p_5 = 11, und so weiter. Oops! Damit haben wir eine bijektive Abbildung zwischen den Zahlen (1, 2, 3, 4 …) und den Primzahlen angegeben:
f : (Bilde die natürliche Zahl i auf die Primzahl p_i ab).
Da es unendlich viele Primzahlen gibt, finden wir für jede ganze Zahl eine Primzahl. Wir erreichen mit dieser Konstruktion aber auch alle Primzahlen, also ist die Menge der natürlichen Zahlen genau so mächtig wie die Menge der Primzahlen, und nicht etwas kleiner.
Betrachten wir nun mal die Menge der Quadratzahlen. Der Einfachheit halber gebe ich direkt eine Abbildung an: h : (Ordne jeder natürlichen Zahl i ihre Quadratzahl i^2 zu.) Damit erreiche ich offenbar jede Quadratzahl, und ich ordne jeder Zahl eine Quadratzahl zu. Die Menge der Quadratzahlen ist also genau so mächtig wie die Menge der natürlichen Zahlen.
Daraus folgt aber, daß die Menge der Quadratzahlen genau so mächtig ist wie die Menge der Primzahlen, und das ist es, was ich gesagt habe.
Sorry, daß das mal wieder was länger wurde, aber ich denke, daß kürzere Beiträge nichts bringen, wenn die dann noch weniger Leute verstehen oder sie mathematisch unexakt werden.
Chris
Hi Christian,
(Mathematisch korrekt heißt es: Die Menge der Primzahlen liegt
dichter in N als die Menge der Quadratzahlen.)*hust* Dem muß ich energisch widersprechen. Es gibt genau so
viele Primzahlen wie Quadratzahlen, nämlich abzählbar
unendlich viele. Und die aussage „dicht“ kann man nur in
normierten Räumen machen, Welche Norm willst du nehmen? die
Menge der natürlichen Zahlen ist diskret. Und der komparativ
„dichter“ ist mathematisch nicht definiert.
ich begebe mich auf ganz dünnes Eis, weil ich den Beweis nicht hinkriege, aber mW gibt es tatsächlich mit Hilfe der Riemannschen Zeta-Funtion einen Beweis für die Aussage von Manni.
Gruß
Katharina
Natürlich hat die ganze Straße dioppelt soviele Nummern wie
nur die eine Seite. Das sind mehr. Viel mehr. Doppelt soviele!
Ja, also mächtich mehr!
Aber nur, weil die Anzahl der Nummern endlich ist. Wenn Du eine unendlich lange Straße hast, mit unendlich vielen Hausnummern, rechts und links, dann ist die Gesamtzahl der Hausnummern genausogroß, wie die Anzahl der Nummern nur rechts oder nur links.
Du solltest Dich mal mit Hilberts Hotel beschäftigen, das ist ziemlich anschaulich. Aber wahrscheinlich hast Du eine eigene viel bessere wilde Theorie dazu…
Das beweist wiederum zweierlei:
- gibt es unendlich viele Primzahlen
Also, das geht viel einfacher als über Konvergenzbetrachtungen
von Reihen.
Natürlich geht es einfacher. Aber bei den Konvergenzbetrachtungen fällt es quasi als Korllar mit raus.
*hust* Dem muß ich energisch widersprechen. Es gibt genau so
viele Primzahlen wie Quadratzahlen, nämlich abzählbar
unendlich viele.
Das Wort „mehr“ war in Anführungszeichen. Das soll bedeuten, dass ich es nicht im strengen mathematischen Sinne gemeint habe, sondern mehr in umgangssprachlich.
Und die aussage „dicht“ kann man nur in
normierten Räumen machen, Welche Norm willst du nehmen? die
Menge der natürlichen Zahlen ist diskret. Und der komparativ
„dichter“ ist mathematisch nicht definiert.
Das kenn ich aber anders: Eine Folge (a1)i von natürlichen Zahlen liegt dichter in N als eine andere Folge (a2)i, wenn die Summe der reziproken Folgenglieder der erste
Folge kleiner ist als die der zweiten.
Das Wort „dicht“ ist offensichtlich doppelt belegt.
Schau mal hier:
http://www.math.uni-frankfurt.de/~steuding/steuding/…
[MOD: habe den Link klickbar gemacht.]
Aber will mich nicht um formulierungen streiten. Du weußt doch, was gemeint ist.
Schön nicht?
Nee, nicht wirklich!
Und das von einem Mathematiker…
Gruß
Oliver
Funktioniert eine Abschätzung nicht so:
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+… >
1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8…
=1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 +…=divergent!
Gruß JS
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