Hallo Sylvia,
Kann mir jemand den Inhalt erklären?? Danke schon mal.
ich bin nur ein Physiker, aber eine Mathematikerin kann mich ja korrigieren, wenn ich falsch liege.
Drei Vorbemerkungen:
- Es geht darum zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
- Wir arbeiten mit natürlichen Zahlen und Teilen heißt hier, dass beim Teilen kein Rest bleibt.
- Der Trick hinter der Argumentation ist, dass man mit Widersprüchen arbeitet. Man setzt das Gegenteil dessen voraus, was man beweisen will und zeigt dann, dass dies zu einem Widerspruch führt.
Denken wir uns eine beliebige Menge M von Primzahlen (a, b, …
k) und nehmen wir einmal an, mehr Primzahlen gäbe es nicht.
Das ist die Voraussetzung, die wir widerlegen wollen (in Wirklichkeit glauben wir nämlich, dass es mehr Primzahlen gibt).
Nun bilden wir die Zahl (a*b* … *k)+1. Ist sie eine Primzahl?
Wenn ja, dann liegt sie außerhalb von M.
Die Zahlen a bis k sind alle Primzahlen. Diese kann man der Größe nach ordnen und wir nehmen an, k sei die größte. Dann ist klar, dass das Produkt aller Primzahlen +1 größer ist als jeder beliebige Faktor des Produktes, also auch kein Element der Menge M ist. Wenn diese Zahl eine Primzahl ist, dann haben wir eine gefunden, die nicht in M enthalten ist. Damit haben wir einen Widerspruch zu unserer Annahme. Nun können wir M um die neu gefundene Primzahl erweitern, das hilft aber nicht, weil wir das Spielchen von eben beliebig oft wiederholen können und auf diese Weise unendliche viele neue Primzahlen produzieren können. So, für den Fall, dass die konstruierte Zahl (a*b*…*k)+1 eine Primzahl sind, sind wir fertig.
Wissen wir aber nicht. Aber wenn sie keine Primzahl ist, bedeutet das, dass sie durch eine Primzahl teilbar sein muss.
Wenn nein, ist sie
durch eine Primzahl p teilbar. Aber liegt p in M? Wenn ja,
dann teilt p das Produkt der Zahlen aus M. Aber p teilt ja
auch (a*b*…*k)+1. Dann müsste p auch die Differenz der beiden
Zahlen teilen, also die 1. Das geht nicht. Folglich liegt p
nicht in M. Mithin: Zu jeder vorgegebenen Menge M von
Primzahlen gibt es eben doch eine, die außerhalb dieser Menge
liegt.
Jetzt kommt der eigentliche Gimmick: Die konstruierte Zahl ist keine Primzahl, wird also von einer Primzahl geteilt. Die nennen wir einfach p. Da unsere Menge M aber laut Annahme alle Primzahlen enthält, müsste p Element der Menge M sein. Kann das sein?
p ist also die Primzahl, die (a*b*…*k)+1 teilt. Nennen wir diese Zahl einfach mal X. Das heißt also: X = m*p. Wenn sie Element von M ist, muss sie aber auch das Produkt aller Elemente von M teilen. Nennen wir das Produkt Y = a*b*…*k = n*p (da ja p einer dieser Faktoren ist). Dann muss p auch die Differenz dieser beiden Zahlen teilen. Das sieht man einfach, wenn man die Zahlen faktorisiert hinschreibt:
X = m*p, Y = n*p
Das heißt:
X-Y = m*p-n*p = (m-n)*p
geteilt durch p ergibt das m-n und da beides natürliche Zahlen sind, muss auch die Differenz eine natürliche Zahl sein, die durch p teilbar ist. Jetzt schreiben wir X-Y aber mal anders hin:
X-Y = (a*b*…*k)+1 - a*b*…*k = 1
1 kann man aber nicht durch p teilen, die Rechnung war richtig, also muss die Annahme falsch sein: p liegt also nicht in M.
So oder so haben wir also Primzahlen gefunden, die nicht in M liegen, entgegen der Annahme, dass M die Menge ALLER Primzahlen ist. Also kann diese Annahme nicht richtig sein.
Wenn Du was nicht verstanden hast, melde Dich nochmal, dann erkläre ich es etwas ausführlicher.
Grüße, Thomas
)