Guten Tag!!!
Habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Zeigen Sie folgende kuriose Identität:
int(x^(-x),x,0,1) = sum( n^(-n),x,1,n) n -> unendlich
Geben Sie auch den Wert mit einem Fehler von
Hallo,
Als Tipp sollte man x^-x in eine Exponentialreihe umschreiben.
Gesagt getan
ich fürchte, das hast du nicht, denn bei dir kommt ja garkeine Reihe vor.
Wie ist denn eine allgemeine Potenz x^a mit reellem a definiert? Oder anders gefragt, wie rechnest du 2^(\pi) aus?
–
PHvL
Zuerst x^a= exp(a(ln(x)) = sum ((a*ln(x)^k/k!,k,0,n) n
–>unendlich
Hab ich dann auch so gemacht, aber die Umformung hat mich nich
weitergerbacht (deshalb hab ich auch den vermerk: ev. in
exp-reihe umschreiben !!!???)
Ich fürchte da fehlt mir irgendein kleiner Trick 
Danke für deine Bemühungen
severin
Hallo,
Zuerst x^a= exp(a(ln(x)) = sum ((a*ln(x)^k/k!,k,0,n) n
–>unendlich
als nächstes könntest du dir z.B. überlegen, ob man Summe und Integral vertauschen kann, weil du ja schließlich eine Summe dastehen haben willst.
BTW: Kommt dir das Integral
\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt
bekannt vor?
–
PHvL
Guten Tag
Also die von dir beschriebene Funktion ist die Gamma-Funktion. Summe und Integral kann man meines Wissens vertauschen, wenn die Funktion gleichmässig konvergent ist…
Habe jetzt einmal versucht das ganze in eine Gamma-Funktion umzuformen:
Zuerst einmal:
int (sum (-x*log(x)^k/k!,k=0,infinite) ,x,0,1) = durch substitution x=e^u
int (sum ( (e^(u(k+1))*(-u)^k/k!,k=0,infinite) ,x,e^0,e^1) = eine weitere Substitution -v=u(k+1) dv/du= -(k+1) --> du = -dv/(k+1)
es folgt also: -u = v/(k+1)
int (sum ( (e^-v)*(v/k+1)^k/(k+1)!,k=0,infinite)
(e^-v)*(v/k+1)^k/(k+1)! = (e^-v)*v^k/(k+1)^k/(k+1)!
und jetzt ist
int ((e^-v)*v^k,v,0,infinite)) = k! (Ich nehme mal gleimässige Konvergenz an und daraus folgt
int (sum (k!/(k+1)^k/(k+1)!,k=0, infinite) =
sum (k!*(k+1)!/(k+1)^k,K=0, infinite)
aber jetzt komm ich nirgends weiter und da ist kein integrand mehr…
-(
entdeckst du mein(e) Rechenfehler?
Hallo,
int (sum (k!/(k+1)^k/(k+1)!,k=0, infinite) =
sum (k!*(k+1)!/(k+1)^k,K=0, infinite)
hier ist dir der Faktor (k+1)! vom Nenner in den Zähler gerutscht. Kürzt du hingegen das k!, so bist du praktisch fertig.
–
PHvL
So endlich die Sache erledigt! Hat alles geklappt!
Danke tausendmal
Severin