Identitäten von cos (φ) und sin (φ) beweisen?

Wissenschaft Mathematik
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hallo,

ich studiere zur zeit nautik und ich hab bei folgender prüfungsfrage ein problem.
Undzwar soll ich die identiäten von cos (φ)=((e^(î(φ))+e^(î(φ)))/2 und sin(φ)=(e^(î(φ)-e^(-î(φ))/2i

beweisen. Ich weiß zwar, dass die sachen die hinter cos und sin stehen deren definitionen sind aber ich weiß nicht wie ich deren identitäten beweisen soll.

Ich danke für antworten!:smile:

2

Hallo,

ich studiere zur zeit nautik und ich hab bei folgender
prüfungsfrage ein problem.
Undzwar soll ich die identiäten von cos
(φ)=((e^(î(φ))+e^(î(φ)))/2 und sin(φ)=(e^(î(φ)-e^(-î(φ))/2i

beweisen. Ich weiß zwar, dass die sachen die hinter cos und
sin stehen deren definitionen sind aber ich weiß nicht wie ich
deren identitäten beweisen soll.

Z.B. durch Zerlegung in Taylor-Reihen.

Grüße,
Moritz

3

Hallo!

Die Frage ist, was Du verwenden darfst und wie ausführlich das sein soll.
Wenn Du das wirklich „von Grund auf“ beweisen sollst, dann geht das am einfachsten über Taylorreihen (analytisch).
Wenn Du die Moivre-Formel kennst und benutzen darfst [exp(iφ)=cos(φ)+i*sin(φ)], dann setz diese erst einmal in die jeweils rechte Seite Deiner Identitäten ein und die linke ergibt sich von allein.
Die Moivre-Formel kannst Du auch algebraisch-geometrisch herleiten, wenn Du die Polardarstellung komplexer Zahlen in der gaußschen Zahlenebene [exp(iφ) ist ein Einheitsvektor, der mit der x-Achse den Winkel φ einschließt] und die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis benutzen darfst.

Liebe Grüße
Immo

4

Hallo,

Undzwar soll ich die identiäten von

cos(φ)=((e^(î(φ))+e^(î(φ)))/2 und sin(φ)=(e^(î(φ)-e^(-î(φ))/2i

beweisen.

das ist wie Moritz sagte über die Tayorreihen zu bewerkstelligen – es geht aber auch ohne diese:

Definiere f(x) := 1/(2 i) (ei φ – e–i φ) und bilde nach den Ableitungsregeln f’(x) und damit f’’(x) und damit schließlich noch f’’’(x). Du wirst herausbekommen, dass f’’ = –f und f’ = –f’’’ gilt. Außerdem kannst Du leicht f(0) = 0 und f’(0) = 1 zeigen. Genau das reicht aber, um f als sin und f’ als cos identifizieren zu dürfen, denn nur sin und cos haben die angeführten Eigenschaften.

Gruß
Martin