Hallo!
Ich habe folgendes Problem:
Integral (xe^x)*(x^2-(1/x))
Welche Integrationsmethode muss ich wo anwenden?
Partielle oder Subustitution ??
Danke für die Hilfe!
Mfg
Philipp
Integral (xe^x)*(x^2-(1/x))
Welche Integrationsmethode muss ich wo anwenden?
Partielle oder Subustitution ??
Hallo Philipp,
\int xe^x\left(x^2-\frac{1}{x}\right)\ dx=\int x^3e^x\ dx-\int e^x\ dx
Für das zweite Integral brauchst du weder Substitution noch partielle Integration, und beim ersten Integral kommst du mit ein paar partiellen Integrationen nacheinander zum Ziel, wenn du dafür sorgst, dass der Grad der x-Potenz jedesmal um eins abnimmt.
Grüße
hendrik
Hossa 
Integral (xe^x)*(x^2-(1/x))
Mittels partieller Integration überlegst du dir am besten allgemein, dass Folgendes gilt:
\int \underbrace{f(x)}_{=u}\underbrace{e^x}_{=v^\prime},dx=\underbrace{f(x)}_{=u}\underbrace{e^x}_{=v}-\int \underbrace{f^\prime(x)}_{=u^\prime}\underbrace{e^x}_{=v},dx
Auf der rechten Seite steht der Integrand von der linken Seite. Subtrahiert wird davon noch das Integral von f’(x)ex. Das ist offenbar eine Art Rekursionsformel, aus der du eine allgemeine Regel ablesen kannst:
\int f(x)e^x,dx=\left[f(x)-f^\prime(x)+f^{\prime\prime}(x)-f^{\prime\prime\prime}(x)\pm\cdots\right],e^x
Dein Integral von oben lässt sich in zwei solche Integrale zerlegen:
\int xe^x\left(x^2-\frac{1}{x}\right),dx=\int x^3e^x,dx-\int e^x,dx
Die Lösung kannst du nun sofort hinschrieben:
\int x^3e^x,dx=\left[x^3-3x^2+6x-6\right],e^x\quad;\quad\int1\cdot e^x,dx=e^x
Nur noch die Subtraktion durchführen und du bist fertig…
Viele Grüße
Hasenfuß