Immer noch Komplexe Zahlen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo!

Ich sitze immer noch an z^4=i ! ;(

Ich habe die Ergebnisse mit Maple ausgerechnet und ich schaffe es einfach nicht darauf zu kommen!

Und zwar hab ich die Formel, die Immo mir gestern gegeben hat probiert und komme trotz der guten Erklärung nicht damit klar!

Meine Komilitonin hat da in nem anderen Forum die Formel
nte Wurzel r(cos(phi/n + 2pik/n)+i sin(phi/n + 2pik/n)) bekommen und damit komm ich auch nicht hin!

In der Vorlesung haben wir da noch ne andere Formel gehabt,
nte Wurzel rho(cos(phi)+i sin(phi)), aber damit komm ich auch nicht drauf!

Die Ergebnisse von Maple sind (-1)^1/8,(-1)^5/8,-(-1)^1/8 und -(-1)^5/8.
Ich weiss, dass das immer die 1 ist, aber ich hab da immer so krumme zahlen raus wie 0,999412… und i*0,03426…

Meine Frage ist eigentlich nur ob ich das ganz großzügig auf 1 und 0 auf- bzw. abrunden kann/darf?
Und welche dieser Formeln ist nun die richtige bzw. die beste?

Gruß
Julia

2

Hallo, Du Geplagte,

Ich sitze immer noch an z^4=i ! ;(

statt wortreicher Erklärungen lass ich mal die Gleichungen für sich sprechen.

z4 = i

Mit den Polardarstellungen z = r ei φ und i = ei (π/2 + n 2 π) folgt:

⇔ (r ei φ)4 = ei (π/2 + n 2 π)

⇔ r4 ei 4 φ = ei (π/2 + n 2 π)

⇔ r4 = 1 und 4 φ = π/2 + n 2 π

Wegen r > 0 hat r4 = 1 nur die Lösung 1. Also:

⇔ r = 1 und φ = π/8 + n π/2 = (1/8 + n/2) π

⇔ r = 1 und φ = (1/8 + 0/2) π oder (1/8 + 1/2) π oder (1/8 + 2/2) π oder (1/8 + 3/2) π

⇔ r = 1 und φ = 1/8 π oder 5/8 π oder 9/8 π oder 13/8 π

Mehr als diese vier voneinander verschiedenen Lösungen kann man nicht finden (eine „17/8 π“-Lösung gibt es nicht, weil sie identisch mit der „1/8 π“-Lösung wäre: 17/8 π = 1/8 π + 2 π ).

Die Gleichung z4 = i hat also vier Lösungen, und zwar

z1 = ei 1/8 π
  z2 = ei 5/8 π
  z3 = ei 9/8 π
  z4 = ei 13/8 π

Jetzt können wir noch vier Fähnchen nehmen und für jede Lösung eins an der passenden Stelle in die Gaußsche Zahlenebene pinnen – das sieht dann so aus (die eingeklammerten Zahlen 1 bis 4 sind die Fähnchen):

 Im |
 |
 |
 i
 (2) | ·
 · | ·
 |
 · | (1)
 |
----- -1 --------O-------- 1 ------
 | Re
 (3) | ·
 |
 · | ·
 · | (4)
 -i
 |
 |
 |

Die Zahlen 1, –1, i, –i, (1)…(4) und alle „·“ liegen äquidistant auf dem Einheitskreis. (1) schließt mit der rechten realen Halbachse (Gerade durch 0 und 1) den Winkel π/8 = 22.5° ein.

So sind also die vier vierten Wurzeln von i in der Gaußschen Zahlenebene positioniert, und wo die acht achten Wurzeln von i liegen (oder die beiden Quadratwurzeln von i), das herauszufinden überlasse ich Dir.

Ist es jetzt klarer geworden?

Gruß
Martin

3

Die Ergebnisse von Maple sind (-1)^1/8,(-1)^5/8,-(-1)^1/8 und
-(-1)^5/8.
Ich weiss, dass das immer die 1 ist, aber ich hab da immer so
krumme zahlen raus wie 0,999412… und i*0,03426…

hallo

die erklärungen von immo und martin sind so ausführlich wie nur möglich, daher will ich dazu auch nichts weiter sagen.
was die krummen ergebnisse von maple betrifft: computerprogramme wie maple, matlab, mathematica und co arbeiten natürlich mit datentyp-abhängigen variablen. so ein programm kann eine zahl in vielen fällen nicht exakt darstellen, vor allem wenn mit irrationalen zahlen wie pi oder der eulerzahl gearbeitet wurde.
also verlass dich nie ganz auf das ergebnis eines computerprogramms bzw. sei dir immer sicher, was du gerade rechnest und überlege, welches ergebnis du erwartest.
die 0,999412 kann also durchaus rundungsfehlerbehaftet dem ergebnis 1 entsprechen. ob das in dem fall so ist, kannst du nur selbst herausfinden, indem du schaust, was genau du gemacht hast.

mfg salitos

4

Hallo Julia,

Deine Formeln sind alle gleichwertig, und die, mit der Du am besten rechnen kannst, ist die richtige für Dich.

Die Ergebnisse von Maple sind (-1)^1/8,(-1)^5/8,-(-1)^1/8 und
-(-1)^5/8.

Diese Ergebnisse sind vollkommen richtig, aber da steht auch nichts anderes, als Du bereits wusstest, denn i1/4 = [(-1)1/2]1/4 = (-1)1/8, und damit scheint Maple (ein durchaus fähiges Programm!) doch den Hauptwert zu meinen.

Ich weiss, dass das immer die 1 ist

(?)

aber ich hab da immer so
krumme zahlen raus wie 0,999412… und i*0,03426…

Da ich mit (-1)^(1/8) auch nicht schlauer bin, gebe ich in Maple evalf(%); ein, dann kriege ich Dezimalzahlen, und da stehen dann die Lösungen:
0.9238795325 + 0.3826834324 I
-0.3826834324 + 0.9238795325 I
-0.9238795325 - 0.3826834324 I
+0.3826834324 - 0.9238795325 I.

Wenn Du jetzt schaust, was sin(π/8) und cos(π/8) ergeben, dann erkennst Du genau diese Zahlen wieder, Deine Formeln haben also genau dasselbe geliefert wie Maple.
(Übrigens ist ja -1=eπi, und wenn Du das einsetzt, bekommst Du auch die Polarform.)

Liebe Grüße,
Immo

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Dankeschön

Hallo, Du Geplagte,

Danke fürs Mitleid und die Hilfe!
Es ist jetzt echt klar und ich kanns auch anwenden!
Das mit der Evaluierung bei Maple ist mir nicht in denn Sinn gekommen!Hätte ich vorher darüber nachgedacht hätte ich mir echt ne Menge Kopfzerbrechen erspart!

Danke nochmal!

lieben Gruß
julia