In einem Würfel einbeschriebene Kugel

Wissenschaft Mathematik
#1

Wenn ich in einem Würfel eine möglichst große Kugel einbeschreibe, füllt diese ein gewisses Volumen des Würfels aus. Wie groß ist dieser Anteil (in %)? Entspricht der Durchmesser der Kugel dann der Seitenlänge des Würfels? Und wie rechen ich damit das Volumen der Kugel, bzw. den Anteil am Würfel aus?
Und was geschieht wenn ich in einem Würfel, nicht nur eine Kugel, sonder mehrere gleich große und möglichst „ausfüllend“ angeordnete einbeschreibe? Also 8 bzw. 27 kleiner Kugeln, die wieder möglichst viel Volume des Würfels ausfüllen. Bitte erklären Sie auch Ihre Vorgangsweise, wenn Sie die Frage beantworten.

#2

Hallo Bonzo, (3
Die Volumina ins Verhältnis zu setzten dürfte auch kein Thema sein.

Gandalf

#3

Und was geschieht wenn ich in einem Würfel, nicht nur eine
Kugel, sonder mehrere gleich große und möglichst „ausfüllend“
angeordnete einbeschreibe? Also 8 bzw. 27 kleiner Kugeln, die
wieder möglichst viel Volume des Würfels ausfüllen. Bitte
erklären Sie auch Ihre Vorgangsweise, wenn Sie die Frage
beantworten.

Der zweite Teil deiner Aufgabe ist etwas schwieriger zu beantworten:

Ausfüllend heißt, dass bei gegebenen Kugeldurchmesser erst eine Anordnung gefunden werden muss, dass optimal ausgefüllt wird. Bezogen immer auf das zur Verfügung stehende Volumen bzw. seiner Abgrenzungen.
Betrachte mal gelagerte Weinflaschen. Laut deiner Idee wären sie „quadratisch“ angeordnet, in Wirklichkeit aber nimmst du die „Kuhlen“ zum Stapeln.
Daraus ergibt sich in gewissen Fällen, dass mehr Kugeln in den Körper passen, als du annimmst.

LGR

#4

Wenn ich mich nicht irre ist das Problem des kompaktesten Stapelns von Kugel noch garnicht auf analythische Weise gelöst. Nach meinem Wissenstand (mind. 2 Jahre alt) gibt es nur einen Beweis über ein eine sehr komplexe Computersimulation, die von vielen (nicht allen) Mathematikern anerkannt wird. Im Endeffekt entspricht es dem Verfahren nach dem Markthändler Apfelsinenpyramiden bauen.
Ich lasse mich aber gern eines besseren belehren.

MfG
Xabbu

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