Hallo Melanie! Heute geht’s also weiter:
Es gilt, dass ord(h)|ord(g), für alle Elemente h aus G*
(warum?).
Das ist im Wesentlichen der Satz von Lagrange. Den müsstest Du vorher bewiesen haben, den Beweis findest Du z.B. in der Wiki: http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange. Wenn’s dazu Fragen gibt, frag einfach nach.
Nun weißt Du aber erst einmal, dass beide Ordnungen die Gruppenordnung teilen. Aber für teilerfremde g,h in G* gilt ord(g*h)=ord(g)*ord(h)>ord(g), Du hättest also g nicht mit maximaler Ordnung gewählt.
[ord(g*h)=ord(g)*ord(h) kann man sich für kommutative Gruppen (und weil G ein Körper ist, haben wir hier eine kommutative Gruppe) relativ schnell überlegen, da für alle Potenzen gk gilt ord(gk)|ord(g) sowie g-1=gord(g)-1, das Inverse ist also auch eine Potenz von g; und ist (g*h)k=gk*hk=1, so ist hk=(gk)-1. Die Ordnung der linken Seite teilt ord(h), die der rechten ord(g), und da die beiden teilerfremd sind, ist die Ordnung jeweils 1, d.h. links und rechts steht das Einselement. Dafür muss k aber sowohl ein Vielfaches von ord(g) als auch von ord(h) sein, und für teilerfremde ord(g),ord(h) ist kgV{ord(g),ord(h)}=ord(g)*ord(h).
Für nichtkommutative Gruppen gilt dies übrigens nicht.]
Jedes Element von G* ist eine Nullstelle des Polynoms. (warum?
also warum ist x^ord(g)-1 = 0 für jede Potenz von g?)
Das sind zwei verschiedene Fragen. Ist x=gk, so ist sicherlich xord(g)=1, denn
(gk)ord(g)=gk*ord(g)=(gord(g))k=1k=1.
Aber das ist ja nicht entscheidend, denn Du willst ja erst zeigen, dass die Gruppe zyklich ist, d.h. Du weißt noch gar nicht, dass sich jedes x in G* als gk schreiben lässt.
Und genau an dieser Stelle brauchst Du den obigen Satz (Dir ist wohl gar nicht aufgefallen, dass Du dies nirgends verwendet hast - naja, das kommt mit der Erfahrung ^v^): ord(x)|ord(g) heißt ja nichts anderes, als dass es ein k gibt mit ord(g)=k*ord(x), und das gilt eben für jedes x in G*.
Also ist xord(g)=xk*ord(x)=(xord(x))k=1k=1,
d.h. jedes Gruppenelement ist wirklich eine Nullstelle des Polynoms xord(g)-1.
Da ein Polynom vom Grad k höchstens k verschiedene Nullstellen
haben kann folgt: ord(g)>= |G*|=|G-1| (verstehe ich nicht)
Hier sind zwei Aussagen: Welche verstehst Du nicht?
Die erste ist: Ein Polynom vom Grade k hat höchstens k verschiedene Nullstellen.
Dies folgt aus dem Hauptsatz der linearen Algebra, der besagt, dass sich ein Polynom P(x) mit den Nullstellen n1, n2, n3, … , nl in eindeutiger Weise (bis auf Reihenfolge der Faktoren) als P(x)=(x-n1)r1*…*(x-nl)rl*R(x) schreiben lässt. Wenn wir nun l>k annehmen, so müssen wir mindestens ri=1, R(x)=1 annehmen, erhalten aber trotzdem das Polynom P(x)=(x-n1)*…*(x-nl), welches Grad l>k besitzt und deshalb nicht unser Polynom vom Grade k sein kann.
Die andere ist, dass daraus ord(g)>=|G*| folgt. Aber dies ist ganz simpel: Dein Polynom hat Grad ord(g) (klar), hat aber |G*| Nullstellen (denn jedes Element aus |G*| ist ja eine).
Alles klar?
Liebe Grüße
Immo