In Komplexe Zahlen Winkel berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich bin z.Z. in einem Mathematik Vorkurs an einer Uni. In einer Übungsstunde, nach der Vorlesung bekamen wir folgende Aufgabenstellung:

Wandeln Sie die folgenden Formeln in die Polarform um.

Nun hatte ich zuerst gar kein Plan was ich tun soll, zum Glück saß ein Mädchen neben mir, dass komplexe Zahlen bereits an seiner Schule durch nahm. Sie hat versucht es mir zu erklären. Jetzt habe ich zu Hause die Aufgabe b) alleine gerechnet und es kommt zu folgendem Problem.
Wenn ich mit dem sin rechne bekomme ich ein anderes Ergebnis als mit dem cos oder tan.

Hier meine Rechnung

z=-1/2 + (Wurzel 3) /2

IzI = Betrag von z = Wurzel aus( (-1/2)² + ( (Wurzel 3) /2)² ) = 1

arcsin (I-1/2I /I1I) = 0,523… = 30°

analog dazu mit arccos und arctan bekomme ich aber 60° als Ergebnis

beim arccos erhalte ich: arccos(I(Wurzel 3) /2I /I1I) = 0,8660… = 60°
beim arctan erhalte ich: arctan(I(Wurzel 3) /2I / I1/2I =1,73… = 60°

Warum kommt beim arcsin 30° raus und bei den anderen beiden 60°

Sry. für meine komische Schreibweise aber ich weiß auch nicht wie ich es besser schreiben könne, ich hoffe ihr werdet schlau daraus.

Ich danke euch für eure Hilfe, liebe Grüße Matthias

#2

Hossa :smile:

Um den Polarwinkel einer komplexen Zahl z zu berechnen, kannst du den Imaginärteil (Gegenkathete) durch den Realteil (Ankathete) dividieren und erhälst dann den Tangens des Polarwinkels.

\tan\varphi=\frac{\mbox{Im}(z)}{\mbox{Re}(z)}

In deinem Fall:

\varphi=\arctan\left(\frac{\mbox{Im}(z)}{\mbox{Re}(z)}\right)=\arctan\left(\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}\right)=\arctan\left(-\sqrt{3}\right)=-60^o

Da der Tangens jedoch auf das Intervall von -Pi/2 bis +Pi/2 abbildet, musst du dir anhand der Vorzeichen von Imaginär- und Realteil überlegen, in welchem Quadranten der Punkt z liegt. Dann kannst du den berechneten Wert entsprechend „korrigieren“.

In deinem Fall ist der Realteil negativ (=> 2-ter oder 3-ter Quadrant) und der Imaginärteil positiv (=> 2-ter Quadrant). Der Polarwinkel muss also zwischen 90° und 180° liegen. Weiter ist der Betrag des Imaginärteils größer als der Betrag des Realteils, also muss der Winkel kleiner als 135° sein. Die -60° von oben kannst du daher nur als 180°-60°=120° interpretieren:

\varphi=120^o

Viele Grüße

Hasenfuß

#3

Hallo :smile:

in einem Mathematikbuch stand, dass zum berechnen von „alpha“ der Betrag von Im(z) und Re(z) geteilt werden soll. Du hast aber das ganze ohne Betrag gerechnet, kann ich es auch mit rechnen, aber dann ist es schwieriger zu erkennen in welchem quartrand „z“ liegt?

des weitern müsste für die einzelnen Quardranten also gelten:

  1. Quardrant: „aplha“ = „phi“
  2. Quardrant: 180° - „aplha“ = „phi“
  3. Quardrant: 180° + „aplha“ = „phi“
  4. Quardrant: 360° - „aplha“ = „phi“

wo ist dann mein Fehler bei der arcsin Berechnung. Die 120° habe ich nämlich nur beim arccos und arctan erhalten.

Wie du in meiner Ausgangsfrage sehen kannst hab ich dort mit Betrag gerechnet und beim sin 30° erhalten, die ich dann von 180° abziehen muss. Dann komme ich aber nur auf 150°. Bei cos und tan komme ich auch auf die 60° und somit auf das gleiche ergebniss wie du. Wo ist also der Fehler beim sin? Das Mädchen von dem ich erzählt habe, hat nämlich nur mit sin und cos gerechnet, beide Ergebnisse untereinander geschrieben und somit gemerkt ob es sich nicht irgendwo verrechnet hat.

Danke für deine Mühe, Gruß Matthias

#4

in einem Mathematikbuch stand, dass zum berechnen von „alpha“
der Betrag von Im(z) und Re(z) geteilt werden soll. Du hast
aber das ganze ohne Betrag gerechnet, kann ich es auch mit
rechnen, aber dann ist es schwieriger zu erkennen in welchem
quartrand „z“ liegt?

M.E. ist es besser mit Beträgen zu rechnen, denn das negative Vorzeichen verwirrt nur und die Überlegungen in welchem Quadranten (nur mit einem „r“) „z“ liegt - so wie es Hasenfuß getan hat - musst du ohnehin.

des weitern müsste für die einzelnen Quardranten also gelten:

  1. Quardrant: „aplha“ = „phi“
  2. Quardrant: 180° - „aplha“ = „phi“
  3. Quardrant: 180° + „aplha“ = „phi“
  4. Quardrant: 360° - „aplha“ = „phi“

Stimmt, wenn „alpha“ der Winkel sein soll, der von „z“ und „Re“ eingeschlosssen ist.

#5

Hallo,

Wenn ich mit dem sin rechne bekomme ich ein anderes Ergebnis
als mit dem cos oder tan.
arcsin (I-1/2I /I1I) = 0,523… = 30°

Das ist falsch, denn der Sinus bedeutet Gegenkathete durch Hypotenuse und nicht Ankathete durch Hypotenuse. Richtig wäre also:
sin (alpha) = I(Wurzel 3) / 2I : I1I —> alpha = 60°

analog dazu mit arccos und arctan bekomme ich aber 60° als
Ergebnis

beim arccos erhalte ich: arccos(I(Wurzel 3) /2I /I1I) =
0,8660… = 60°

Darin sind gleich 2 Fehler, die aber zum richtigen Ergebnis führen: 1. müsste diese Rechnung 30° ergeben und 2. ist der Kosinus = Ankathete/Hypotenuse.

Gruß
Pontius

#6

Hallo Hasenfuß,

dass bei der selben Aufgabe einmal phi = -60° ist und ein anderes Mal 120° sein soll, ist m.E. verwirrend. Wäre es nicht besser, zwei unterschiedliche Zahlenwerte auch mit zwei unterschiedlichen griechischen Buchstaben zu bezeichnen, z.B. „alpha“ und „phi“ und mit Beträgen zu rechnen?

Gruß
Pontius

#7

Hallo,

danke an alle die geantwortet haben, eure Erklärungen waren sehr hilfreich. Wobei ich mit der Verwechslung von sin und cos, ein schlimmer Fehler begann.

Liebe Grüße Matthias