Hallo,
ich soll indirekt beweisen, dass die quadratische Gleichung x²+mx+n=0 mit m,n als ungeraden, ganzen Zahlen keine rationale Lösung hat.
Ich habe also die Lösungsformel X1/2=-m/2±Wurzel(m²/4-n)=a/b gesetzt. Wenn ich jetzt quadriere, komme ich auf ±(m²/4-n)=a²/b²+2*a/b*m+m²/4 und weiß nicht, wie ich eine Beziehung zwischen a und b in Abhängigkeit zu m und n bekomme.
Vielleicht muß man ja auch ganz anders rangehen.
Ciao Kati
Hallo Kati,
ich soll indirekt beweisen, dass die quadratische Gleichung
x²+mx+n=0 mit m,n als ungeraden, ganzen Zahlen keine rationale
Lösung hat.
Ich weiss nicht, ob das die kürzeste Lösung ist, aber es ist eine:
Wir haben X1,2= -m/2 +/- Wurzel(m2/4 - n)
(1) -m/2 ist sowieso rational. Es reicht deshalb zu zeigen, dass Wurzel(m2/4 - n) nicht rational sein kann.
(2) Nehmen wir also Deinen Ansatz: sei Wurzel(m2/4 - n) = a/b, wobei a und b teilerfremde ganze Zahlen sind (Bruch ist nicht mehr zu kürzen).
(3) Nach dem Quadrieren erhalten wir m2/4 - n = a2/b2. Ein wenig umgeformt (beide Seiten mal 4)erhalten wir
m2 - 4n = 4a2/b2.
Von obiger Gleichung bleibt jetzt
m2 - 4n = a2.
oder etwas umgestellt
m2 - a2 = 4n
Jetzt muss man wissen, dass die Differenz der Quadrate zweier ungerader Zahlen (a und m sind ungerade) immer ein Vielfaches von 8 ist (s.u.). Also ist 4n ein Vielfaches von 8, und n kann keine ungerade Zahl sein. Widerspruch!
Wie ist das mit den Quadraten von ungeraden Zahlen? Nehmen wir zwei ungerade Zahlen u1=(2p+1) und u2=(2q+1). Dann ist
(2p+1)2 - (2q+1)2
= (4p2 + 4p + 1) - (4q2 + 4q + 1)
= 4(p2 + p) - 4(q2 + q)
Da x2 + x immer gerade ist, setzen wir (p2 + p) = 2r und (q2 + q) = 2s:
4(p2 + p) - 4(q2 + q)
= 4 * 2r + 4 * 2s
= 8(r+s). q.e.d.
Uff, grüßt
Ralf