Induktion Ungleichung -> was noch beweisen?

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo,

ich habe eine kleine Frage zu einer Induktion und zwar:

2^n > n^2 für n > 5

Induktionsanfang:

wähle n=5

2^5 > 5^2 = 32 > 25 (n+1)^2

Was soll ich da jetzt noch beweisen?! 2^(n+1) wird immer größer sein wenn n >= 5 ist. Was fehlt dem Mathematiker da noch bis er es akzeptiert?

Würde mich über Anregungen freuen!

2

Hallo,

Jetzt muss ich ja beweisen dass

2^(n+1) > (n+1)^2

Was soll ich da jetzt noch beweisen?!

Genau das, was dasteht.

2^(n+1) wird immer
größer sein wenn n >= 5 ist.

Woher weisst du das?

Was fehlt dem Mathematiker da
noch bis er es akzeptiert?

Ein Beweis.

Grüße,
Moritz

3

Induktionsanfang:

wähle n=5

2^5 > 5^2 = 32 > 25 (n+1)^2

Was soll ich da jetzt noch beweisen?! 2^(n+1) wird immer
größer sein wenn n >= 5 ist. Was fehlt dem Mathematiker da
noch bis er es akzeptiert?

Na der Beweis, Du sollst beweisen, dass das linke größer ist als das rechte.

Im idealfall kann man das so umformen, dass da steht 5>3, dann stimmt es auf jeden fall.
auch n > 4,5 wäre eine passable aussage, weil ja in der ursprungsbehauptung gesagt wird, dass n > 5 ist.

Also umformen und hoffen dass es stimmt(was es tut).

4

Hallo,

Jetzt muss ich ja beweisen dass

2^(n+1) > (n+1)^2

Was soll ich da jetzt noch beweisen?! 2^(n+1) wird immer
größer sein wenn n >= 5 ist.

eine mutige Aussage; genau das war doch von Anfang an zu beweisen. Erklär mir (oder einem anderen mit mathematischer Vorbildung) in kleinen, unmittelbar einsichtigen Schritten, warum das so ist. Das ist es (grob gesagt), was als Beweis gilt.

Viele Grüße,

Andreas

PS: Ein Beweis durch Induktion besteht immer aus drei Bestandteilen: Induktionsanfang (hast du), Induktionsannahme und Induktionsschritt (fehlen dir).

5

2^(n+1) wird immer
größer sein wenn n >= 5 ist.

Woher weisst du das?

Weil doch 2^(n+1) schneller strebt als n^2, falls man das so ausdrücken kann.

6

Also umformen und hoffen dass es stimmt(was es tut).

Danke erst einmal für schnellen die Anworten von euch allen. Gut, ich probiere es morgen noch einmal, vll sehe ich es nur gerade nicht!

7

eine mutige Aussage; genau das war doch von Anfang an zu
beweisen. Erklär mir (oder einem anderen mit mathematischer
Vorbildung) in kleinen, unmittelbar einsichtigen Schritten,
warum das so ist. Das ist es (grob gesagt), was als Beweis
gilt.

Ich würde es wie gesagt so begründen, weil 2^(n+1) schneller streben würde als n+1^2, wenn n >= 5 ist. Falls man das so sagen kann…

8

Hallo,

Ich würde es wie gesagt so begründen, weil 2^(n+1) schneller
streben würde als n+1^2, wenn n >= 5 ist. Falls man das so
sagen kann…

Wenn du dem Mathematiker erklären kannst was du unter „schneller streben“
verstehst und das für alle n zeigen kannst, dann ist die Katze im Sack. Nur wirst du m.E. ein kleineres Problem mit der Definition von „schneller streben“ bekommen.

Gruß

9

moin;

Weil doch 2^(n+1) schneller strebt als n^2

Das kann man durchaus sagen, bringt aber nichts. Denn hiermit hast du praktisch nur gesagt (auch wenn das „Streben“ noch nicht ganz als Begründung reicht), dass die Ungleichung für n->oo gilt. Für die kleineren n kann das, was man gemeinhin unter „streben“ versteht, nicht angewandt werden, deinem „Beweis“ fehlt hier also jegliche Grundlage.

Wenn du den Beweis übrigens induktiv durchführen sollst, bist du, glaube ich, völlig auf der falschen Fährte.

mfG

10

Hallo,

Induktion
2^n > n^2 für n > 5

Induktionsanfang:
wähle n=5

Ich hätte erst mit n= 6 angefangen, immerhin geht es um n> 5 (ist aber für den weiteren Verlauf egal)

Induktionsschluss:
Jetzt muss ich ja beweisen dass
2^(n+1) > (n+1)^2

Was soll ich da jetzt noch beweisen?! 2^(n+1) wird immer
größer sein wenn n >= 5 ist. Was fehlt dem Mathematiker da
noch bis er es akzeptiert?

Würde mich über Anregungen freuen!

Mach dir nochmal klar, wie ein Induktionsbeweis normalerweise abläuft:

  • Induktionsanfang (zeige, dass Behauptung für das kleinste n stimmt)
  • Induktionsvoraussetzung (nehme an, dass Behauptung für n stimmt)
  • Induktionsschluss (zeige, dass wenn die Behauptung für n stimmt, sie auch für n+1 stimmt)

Bis jetzt bist du beim Induktionsanfang.
Als nächsten Schritt nimmst du an, dass 2^n > n² stimmt.
Dann schaust du dir an, wie du 2^(n+1) > (n+1)² umformen kannst, so dass du die Induktionsvoraussetzung verwenden kannst.

Damit hast du es dann für alle n > 5 bewiesen:
n= 6 => Behauptung stimmt
n= 7 => für n=6 stimmt sie, also stimmt sie auch für n+1= 7
n= 8 => für n=7 stimmt sie, also stimmt sie auch für n+1= 8
…

Also nochmal konkret:
Nimm 2^(n+1) > (n+1)² und schau, wie du das umformen kannst, so dass du 2^n > n² (in dem Moment als wahr vorausgesetzt) benutzen kannst.

Hilft dir das?

Viele Grüße
Kati

11

was mir hier noch fehlt …
hi,

ich habe eine kleine Frage zu einer Induktion und zwar:

2^n > n^2 für n > 5

Induktionsanfang:

wähle n=5

2^5 > 5^2 = 32 > 25 (n+1)^2

mit der voraussetzung, dass
2^n > n^2
ist.

das fehlt mir hier in der diskussion noch.

z.b.:

2^(n+1) = 2 * 2^n
induktionsvoraussetzung jetzt anwenden und berücksichtigen, dass
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1

…

m.

12

Danke für deine Antwort.

Ich hab jetzt rum probiert und rum probiert. Ich hab versucht auf das Ursprungsergebnis zu kommen.

2^n+1 >(n+1)^2
2*2^n > (n^2)+2n+1
2^n > (0,5n^2)+n+0,5
(-0,5n^2)-n-0,5+2^n > n^2

Die 2^n und die n^2 sind da, nun müsste ich aber wieder diskutieren ob nicht (-0,5n^2)-n-0,5 das 2^n so klein machen, so das es im Endeffekt kleiner als n^2 wird.

Ich denke das was da steht sagt immer noch nichts aus oder?

13

Hallo Keozor,

von der Idee her geht es schon in die richtige Richtung.

Zunächst solltest Du Dir genau klarmachen, was Du zeigen willst:
Du willst aus der Annahme, dass 2n > n2 richtig ist, beweisen, dass auch

2n + 1 > (n + 1)2  [:diamonds:]

richtig ist.

Zunächst liegt es nahe, die linke Seite von [:diamonds:] als 2 · 2n auszudrücken, wie Du es schon getan hast. Das ist gut, weil die Induktionsannahme eine Aussage über 2n macht, nämlich die, dass 2n größer ist als n2. Deshalb darfst Du bereits schlussfolgern:

2n + 1 = 2 · 2n > 2 n2

Was die rechte Seite von [:diamonds:] betrifft, kannst Du erahnen, dass es vorteilhaft ist, sie schlicht zu expandieren…

(n + 1)2 = n2 + 2 n + 1

…denn dadurch hast Du ebenfalls ein n2 erhalten.

Der Rest ist keine große Sache, denn Du musst ja nur noch zeigen, dass 2 n2 größer ist als n2 + 2 n + 1. Das ist natürlich genau dann der Fall, wenn n2 > 2 n + 1 stimmt (Du hast sicher sofort in Gedanken auf beiden Seiten n2 subtrahiert…), und das ist no problem. Versuch Dich selbst daran (kein induktiver Beweis, sondern ganz easy direkt).

Bringt Dich das weiter?

Gruß
Martin

1 „Gefällt mir“
14

Hallo Martin,

danke für deine ausführliche Antwort.

2n + 1 = 2 · 2n > 2 n2

Entweder hapert es bei mir an den Potenzgesetzen oder ich weiß auch nicht…
Wie kommst du auf der rechten Seite auf 2 n2 ? Die linke hätte ich ja noch verstanden…

15

Hallo Keozor,

2n + 1 = 2 · 2n > 2 n2

Entweder hapert es bei mir an den Potenzgesetzen oder ich weiß
auch nicht…
Wie kommst du auf der rechten Seite auf 2 n2 ? Die
linke hätte ich ja noch verstanden…

Du darfst hier die Induktionsvoraussetzung verwenden, die lautet: 2n > n2
Also ist 2 · 2n > 2 n2.

Viele Grüße
Kati