Hallo,
wir sind am verzweifeln beim beweisen von (n+1)^n2
mit hilfe der vollständigen induktion. Kann jemand von euch uns bitte vielleicht die grundidee in groben zügen erklären? wir haben probleme beim umformen im induktionsschritt.
Danke schonmal!
MfG
Flo
Hallo.
(n+1)^n2
Für n=3 gilt
(3+1)^ 3 4 ^ 3 64
Für n+1 soll gelten
(n+1+1) ^ (n+1) (n+2) ^ (n+1) ((n+2) ^ n) \* (n+2)
Den Rest solltest Du selbst hinkriegen können. Finomische Bormel ...
Gruß Eillicht zu Vensre
Hallo Ihr Lieben,
vielen Dank für diese interessante Aufgabe.
Heute morgen war ich extra nicht beim Milchmann und habe auch auf einige andere Dinge verzichtet, und stattdessen die Lösung für Euch gebastelt. Hier ist sie nun:
Wie beim Induktionsbeweis üblich, zeigen wir, daß aus der Gültigkeit der Ungleichung für n die Gültigkeit der Ungleichung für n+1 folgt, wobei hier speziell noch n>2 vorausgesetzt wird.
Machen wir uns also an die Arbeit, und zeigen wir, daß aus
(n+1)nn+1, wobei n>2 (Induktionsvoraussetzung)
folgt (n+2)n+1n+2.
Um diese Folgerung zeigen zu können, spalten wir die beiden Seiten der Ungleichung jeweils in Faktoren auf, und zwar sinnigerweise so, daß wir sowohl links als auch rechts die Terme aus der Induktionsvoraussetzung als Faktor stehen haben:
(n+2)n+1n+2
(n+1)n * [(n+2)/(n+1)]n * (n+2) n+1 * ((n+1)/n)n+1 * (n+1)
(Die Äquvivalenz gilt unter der Voraussetzung n>2.)
Wer sich etwas auskennt, ahnt nun schon, wie es weitergeht.
Wir zeigen nun, daß für die beiden abgespaltenen Faktoren auf der linken und auf der rechten Seite der Ungleichung eine bestimmte Relation gilt, nämlich:
[(n+2)/(n+1)]n * (n+2) n+1 * (n+1) (0)
Daß die letztere Ungleichung für alle n>2 gilt, kann man sich wie folgt herleiten:
Aus der offensichtlich richtigen Ungleichung 0 n2 + 2n 2 + 2n + 1
n(n+2) n+2 (#)
A) (n+2)/(n+1) ((n+2)/(n+1))nn (1)
B) Die Ungleichung (#) ist aber auch äquivalent zu
n+2 (2)
Aus den Ungleichungen (1) und und (2) gewinnen wir durch Multiplikation (möglich, da alle 4 Seiten >0):
[(n+2)/(n+1)]n * (n+2) n+1 * (n+1),
und das ist nichts anderes als die Ungleichung (0).
Damit ist die Sache nun auch schon bewiesen, denn wir brauchen die beiden Seiten dieser Ungleichung, die beide positiv sind, nun nur noch mit den ebenfalls beiden positiven Seiten der Induktionsvoraussetzung zu multiplizieren und erhalten als Ergebnis die Induktionsbehauptung.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo.
(n+1)^n2
Für n=3 gilt
(3+1)^ 3 4 ^ 3 64 (n+2) ^ (n+1) ((n+2) ^ n) * (n+2)
Vielen Dank für diese Antwort!
Wir haben das jetzt nachvollzogen und konnten es sogar noch vereinfachen.
Ihre Antwort hat sich so angehört als hätten sie Spaß an solchen Aufgaben. Falls dem so ist, haben wir noch 2 weitere Problemfälle (den Rest vom Blatt , bestehend aus 4 weiteren Problemen, haben wir aber selbst gemacht), die sie sich gerne mal anschauen können. Es sind zwei Beweise die mit Induktion gemacht werden können, aber nicht müssen (glauben wir).
m element Z => T(m):=11^(m+2)+12^(2m+1) ist immer durch 133 teilbar
Wenn a element (1,unendlich), dann gibt es zu jedem b element (0,unendlich) ein n element N mit a^n>b
Viel Spaß damit! Wir wären gerade bei Beweis 2 über einen Ansatz sehr glücklich!
MfG Flo
MOD: Überflüssiges Zitat gelöscht.