Inhomog. Differentialgleichung und Resonanz

Wissenschaft Mathematik
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Hallo liebe Mathe-Freunde,

ich hoffe, ihr könnt mir (schnell!! schreib morgen Klausur!) helfen!
Ich habe folgendes Problem:
ich soll die allgemeine Lösung folgender DGL bestimmen:
y’’(x) + 2y’(x) - 3y(x) = 4e^x + 6x - 10

wenn ich mittels charakteristischer Gleichung die homogene Lösung ermittle komm ich auf y_h = C1*e^x + C2*e^-3x

Dann vergleiche ich ja dieses Ergebniss mit der Störfunktion (4e^x + 6x - 10) und stelle fest, dass ich hier eine Resonanz habe.
Aber was jetzt?! Ich weiß, dass ich mit der kleinstmöglichen Potenz von x erweitern muss… aber was genau?! In meiner „Liste“ stehen e^x, x und „1“ --> muss ich jetzt alle 3 Terme mit x erweitern oder nur den „Störfaktor“ e^x ??
Bin verwirrt und meine Aufzeichnungen wiedersprechen sich da…

Denn angenommen, ich muss alle drei Terme erweitern, dann wär doch der kleinstmögliche Erweiterungsfaktor x²,denn nur dann würden alle Störfaktoren keine Resonanz zeigen/bilden/wieauchimmer… Dann würde meine „neue“ Liste aus x²*e^x, x³ und x² bestehen…

Hoffe, dass mir jemand schnell helfen kann!
Besten Dank,
Queeny aka Mathe-Nullcheckerin

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ich soll die allgemeine Lösung folgender DGL bestimmen:
y’’(x) + 2y’(x) - 3y(x) = 4e^x + 6x - 10

wenn ich mittels charakteristischer Gleichung die homogene
Lösung ermittle komm ich auf y_h = C1*e^x + C2*e^-3x

Dann vergleiche ich ja dieses Ergebniss mit der Störfunktion
(4e^x + 6x - 10) und stelle fest, dass ich hier eine Resonanz
habe.
Aber was jetzt?! Ich weiß, dass ich mit der kleinstmöglichen
Potenz von x erweitern muss… aber was genau?! In meiner
„Liste“ stehen e^x, x und „1“ --> muss ich jetzt alle 3 Terme
mit x erweitern oder nur den „Störfaktor“ e^x ??

Hi Queeny,

Du machst einen Ansatz in der Form deiner Störfunktion, aber den Summanden der die Resonanz verursacht multiplizierst du mit sx.
Das heißt dein Ansatz ist

y(x)=sxe^x+ax+b

Jetzt rechnest du die Ableitungen aus, setzt alles in die DGL ein und kannst dann ausrechnen was s,a und b sein müssen.
In deinem Fall kommt raus

s=1,\ a=-2,\ b=2

Die allgemeine Lösung deiner DGL ist die Summe der homogenen Lösung und deiner Lösung der Ansatzfunktion, also

y(x)=(x+c_1)e^x+c_2e^{-3x}-2x+2

Gruß

hendrik