Hallo!
Kennt jemand vielleicht den Beweis dafür, dass zu der Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems alle die n-Tupel gehören, die man erhält, wenn man zu jeder Lösung des zugehörigen homogenen LGS eine beliebige Lösung des inhomogenen LGS addiert?
Hoffe, ich hab mich in diesem schrecklichen Satz nicht zweideutig ausgedrückt, aber ich denke, ihr Profis wisst, was gemeint ist. Wenn es geht, wäre ich euch weiterhin verbunden, wenn ihr es nicht sooo kompliziert erklären würdet, ich bin noch nicht so schrecklich weit in Mathe.
Ich freue mich über eine schnelle Antwort
Anna
Kennt jemand vielleicht den Beweis dafür, dass zu der
Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems alle
die n-Tupel gehören, die man erhält, wenn man zu jeder Lösung
des zugehörigen homogenen LGS eine beliebige Lösung des
inhomogenen LGS addiert?
Hi Anna,
ich kann Dir folgenden Beweis anbieten.
Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte (nicht notwendigerweise m = n!):
[A] x> = b> (*)
Dabei ist [A] die Koeffizientenmatrix, x> der Lösungsvektor und b> die „Inhomogenität“ des Gleichungssystems.
Die Menge
L := {x> | [A] x> = b>}
ist die Lösungsmenge von (*).
Wir bilden nun eine zweite Menge L’, und zwar diese
L’ := {u> | u> = x>–s> wobei x> E L, s> E L fest }
und fragen uns, welche Bedeutung sie hat. Die Antwort auf diese Frage können wir uns ausrechnen. Wir lassen einfach die Matrix [A] auf ein Element u> von L’ los und gucken, was dabei herauskommt:
[A] u> = [A] (x>–s>:wink: = [A] x> – [A] s> = b> – b> = 0>
Damit haben wir herausgefunden, daß jedes Element u> aus der Menge L’ durch [A] auf den Nullvektor abgebildet wird. Das heißt aber folgendes: Wenn wir das Gleichungssystem
[A] x> = 0>
als „das zu (*) gehörende homogene Gleichungssystem“ bezeichnen, dann ist L’ gerade die Lösungsmenge des zu (*) gehörenden homogenen Systems:
L’ = {x> | [A] x> = 0>} =: „Lhom“
Wegen der Definition der u> als u> = x>–s> können wir L nun etwas anders darstellen, und zwar so:
L := {x> | x> = u>+s> wobei u> E Lhom, s> E L fest }
oder verkürzt
L := Lhom + s> mit s> E L fest }
Die Mathematiker sagen nun statt „Lösungsmenge“ auch gerne „allgemeinen Lösung“ und statt von einem „Element aus der Lösungsmenge“ reden sie von der „speziellen Lösung“. Mit diesen Bezeichnungen können wir jetzt den wohlbekannten Spruch aufsagen:
**Die allgemeine Lösung L eines linearen Gleichungssystems [A] x> = b> ist gleich der allgemeinen Lösung Lhom des zugehörigen homogenen Gleichungssystems [A] x> = 0> plus einer speziellen Lösung s> von [A] x> = b>:
L = Lhom + s>**
.
Der Spruch ist übrigens nicht nur bei mehrdeutig lösbaren Gleichungssystemen („unterbestimmte Gleichungssysteme“, d. h. solche, die mehr Unbekannte als Gleichungen haben) nützlich, sondern vor allem auch bei linearen Diffentialgleichungen.
===================
Ich mache mal ein Beispiel. Dazu denken wir uns ein besonders einfaches Gleichungssystem aus, nämlich eines mit einer Gleichung für zwei Unbekannte (das hat auch den Vorteil, daß es eine Gerade in der Ebene beschreibt – mehr dazu weiter unten). Ich nehme mal dieses:
(2 10) x> = -14 (*)
Eine spezielle Lösung von (*) ist etwa
xspez> = (0, -7/5)
und die allgemeine Lösung von (*) kann man schnell ausrechnen zu
Lhom = {(–5 lambda, lambda) | lambda reelle Zahl}
Dann ergibt sich nach „dem Spruch“ die Lösungsmenge L von (*) zu:
x> = (–5 lambda, lambda) + (0, -7/5)
= (–5 lambda, lambda–7/5)
Wenn Du die Probe machst, siehst Du, daß x> das System (*) löst.
Nun nehmen wir aber einfach mal ein anderes xspez> (überzeuge Dich davon, daß dieses xspez> ebenfalls eine Lösung von (*) ist):
xspez> = (8, -3)
Nach „dem Spruch“ ergibt sich jetzt:
x> = (–5 sigma, sigma) + (8, -3)
= (–5 sigma+8, sigma–3)
Mit noch einem anderen xspez>, nämlich xspez> = (-7, 0) erhälst Du
x> = (–5 theta, theta) + (-7, 0)
= (–5 theta-7, theta)
Der Clou ist nun, daß
(–5 sigma+8, sigma–3) und
(–5 lambda, lambda–7/5) und
(–5 theta-7, theta) und
alle weiteren (…, …) die Du je nach Wahl
von xspez> erhalten kannst
sich zwar alle im „Look“ voneinander unterscheiden, aber trotzdem alle die Lösungsmenge L von (*) beschreiben. Und gerade das ist es, was „der Spruch“ (in allgemeiner Form) ausdrückt.
Sehr aufschlußreich ist es, sich das alles mal geometrisch zu veranschaulichen. Eine lineare Gleichung für zwei Unbekannte beschreibt stets eine Gerade. Die Gerade g, die (*) beschreibt, besitzt die Steigung –1/5 und den y-Achenabschnitt –7/5 (mal Dir die am besten mal hin).
Das zu (*) gehörende homogene Gleichungssystem
(2 10) x> = 0
beschreibt auch eine Gerade („g0“), und zwar die, die zu g parallel ist und durch den Ursprung geht (ebenfalls malen!). Nun mach Dir bitte klar, daß Du die Gerade g dadurch erzeugen kannst, indem Du Dir einen beliebigen(!), aber festen Vektor daraus vorknöpfst (d. h. einen Vektor, der zu einem Punkt auf der Geraden g zeigt), und zu diesem alle Vektoren aus g0 hinzuaddierst. Wenn Du dahintergekommen bist, daß das unabhängig davon klappt, welchen Vektor aus g Du genommen hast, dann hast Du auch verstanden, was „der Spruch“ sagt, und warum er funktioniert.
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.
Mit freundlichem Gruß
Martin
meisterhaft! Kompliment! (o.w.T.)
Hi Martin!
Auch wenn ich noch nicht alles verstanden habe (ich brauch dazu dann doch etwas) :Vielen Dank! Du hast mir sehr weitergeholfen
Deine Anna
leider ein bißchen spät
Hallo Anna,
vielleicht hast du Lust dir noch einen anderen Beweis anzusehen, der mich damals überzeugt hat:
ich bezeichne das Gleichungsystem mit: Ax=b
Ok, sei nun u E Ker(A) und s E L beliebig.
(wobei Ker(A) „der Kern“ der Abbildungs ist, d.h. die komplette Lösungsmenge von Ax=0 und L die Lösungsmenge des Systems)
Dann ist A(s+u)=As+Au=b+0=b,
also ist s + Ker(A) Teilmenge von L.
Sei nun w eine weitere Lösung, also w E L.
Dann ist A(w-s)=Aw-As=b-b=0,
also ist w-s E Ker(A) oder w E s + Ker(A)
also ist L Teilmenge von s + Ker(A)
Jede Menge ist also Teilmenge der anderen, also müssen, die beiden Mengen gleich sein:
L = s + Ker(A)
Ich hoffe, jemand hat noch bis hier her weitergelesen.
Grüße
OLIVER