Hallo zusammen,
ich habe 4 Fragen an euch:
(1) Stimmt es, dass f: N–>N, x–>ceil(x/2)
surjektiv, aber nicht injektiv ist?
(2) Stimmt es, dass f: N–>N, x–>2x
injektiv, aber nicht surjektiv ist?
(3) Ich suche eine Abbildung f: Z–>N. Sie soll bijektiv sein. Mir
fällt keine ein.
(4) Ich suche eine Abbildung f: N–>Q. Sie soll surjektiv sein. Hier
fällt mir auch leider keine ein.
Liebe Grüße,
hansmuff
Hi.
(1) Stimmt es, dass f: N–>N, x–>ceil(x/2)
surjektiv, aber nicht injektiv ist?
Ja.
(2) Stimmt es, dass f: N–>N, x–>2x
injektiv, aber nicht surjektiv ist?
Ja.
(3) Ich suche eine Abbildung f: Z–>N. Sie soll bijektiv sein.
Mir fällt keine ein.
Was ist die Frage?
(4) Ich suche eine Abbildung f: N–>Q. Sie soll surjektiv
sein. Hier fällt mir auch leider keine ein.
Was ist die Frage?
Gruß,
KHK
Hallo.
(3) Ich suche eine Abbildung f: Z–>N. Sie soll bijektiv sein.
Du kannst z. B. Null auf Null abbilden, die positiven Zahlen auf ihr Doppeltes und die negativen Zahlen auf die entstehenden Loecher, also n --> 2n fuer n>=0 und
n --> -2n-1.
Liebe Gruesse,
The Nameless
Hallo hansmuff!
(3) Ich suche eine Abbildung f: Z–>N. Sie soll bijektiv sein.
Mir fällt keine ein.
Echt nicht? Was sollst Du machen? Zu jeder ganzen Zahl eine natürliche finden. Du sollst also mit irgendeiner Zahl anfangen, dieser die Null (oder 1, je nachdem, wie Du N definierst) zuordnen; Dir dann die nächste ganze Zahl aussuchen und dieser die 1 (bzw. 2) zuordnen usw. – Du sollst sie also abzählen.
Nun kannst Du ja schlecht bei „minus unendlich“ anfangen, also musst Du dir schon irgendeine bestimmte ganze Zahl für den Anfang aussuchen. Welche bietet sich denn da an?
Und dann hast Du ja ganze Zahlen, die kleiner als die vom Anfang sind, und welche, die größer sind. Du kannst jetzt nicht erst einmal die größeren angucken, dann wärst Du nämlich irgendwann bei unendlich und hättest die kleineren noch nicht. Was tust Du also, damit Du keine vergisst?
Wenn Du nun weißt, was Du machen willst, findest Du vielleicht auch eine einzelne Abbildungsvorschrift; ansonsten definierst Du die Funktion halt stückweise.
(4) Ich suche eine Abbildung f: N–>Q. Sie soll surjektiv
sein. Hier fällt mir auch leider keine ein.
Das ist auch echt schwer, wenn man’s noch nie gesehen hat. Lies Dir mal durch, was der Herr Cantor, der Begründer der Mengenlehre, so alles gemacht hat, da findest Du nützliche Informationen.
Liebe Grüße
Immo
Hallo.
(3) Ich suche eine Abbildung f: Z–>N. Sie soll bijektiv sein.
Du kannst z. B. Null auf Null abbilden,
Achtung: In der Mathematik ist die 0 keine natürliche Zahl. Darum muss man bei deiner Vorschrift jeweils 1 dazuaddieren.
Gruß Bombadil2
Null und natürliche Zahlen
Hi
Achtung: In der Mathematik ist die 0 keine natürliche Zahl.
Darum muss man bei deiner Vorschrift jeweils 1 dazuaddieren.
Das ist so nicht richtig. Es werden beide Definitionen verwendet, sowohl IN:={1,2,3,…} als auch IN:={0,1,2,…}
Hier einige Argumente der pro-Null-Fraktion: http://userpage.fu-berlin.de/~ram/pub/pub_jf47ht81Ht…
… und in DE ist sowieso alles genormt. In der DIN 5473 steht, dass Null eine natürliche Zahl ist.
Gruß,
KHK
Hallo Bombadil2.
Achtung: In der Mathematik ist die 0 keine natürliche Zahl.
Darum muss man bei deiner Vorschrift jeweils 1 dazuaddieren.
Das ist m. E. eine recht fruchtlose Diskussion, weil es beide Konventionen gibt. Im Symbolverzeichnis bei Otto Forster, Analysis I (S. 208) ist das Symbol \mathbb{N} erklaert mit {0,1,2,3,…} gleich Menge der natuerlichen Zahlen. Und Barner & Flohr schreiben in ihrem Buch Analysis I auf S. 22: „Die Zahl 0 ist die kleinste natuerliche Zahl, denn …“. Allerdings verwenden die beiden fuer die natuerlichen Zahlen das Symbol \mathbb{N}_0 und schreiben dann entsprechend \mathbb{N} , wenn sie die Null explizit auslassen moechten.
Liebe Gruesse,
The Nameless
Hallo hansmuff. 
(4) Ich suche eine Abbildung f: N–>Q. Sie soll surjektiv sein.
Offenbar benoetigst Du ein Verfahren, um die rationalen Zahlen durchzunummerieren. Der Standardtrick ist, dass man eine Tabelle anlegt, in der man die Zaehler in die eine Richtung und die Nenner in die andere Richtung eintraegt. Jedes Kaestchen in dieser Tabelle entspricht dann einer rationalen Zahl. Dabei treten die Zahlen vielfach auf, weil ja auch ungekuerzte Brueche in der Tabelle enthalten sind. Wenn man durchnumerieren soll, dann muss man also einen Weg durch diese Tabelle finden, bei dem man bei allen Zahlen vorbeikommt ohne vorschnell in eine Richtung in die Unendlichkeit abzudampfen. Das macht man je nach Anlage der Tabelle, indem man
auf Diagonalen oder Spiralen um den Ursprung herum laeuft. Dabei ueberspringt man einfach alle Zahlen, die man schon in anderer Darstellung mitgenommen hat.
Zu dem Beweis gibt es viele instruktive Bilder. Vielleicht schaust Du in ein Standardbuch mit dem Titel „Analysis I“. In der Unibibliothek stehen sicherlich zehn verschiedene Autoren (z.B. Forster, Barner&Flohr, Courant&Hilbert, Mayberg&Vachenhauer, Heuser, …)
Liebe Gruesse,
The Nameless
Mir ging es primär darum, dass der UP die Lösung diesbezüglich bei Bedarf (also wie es in seinen Kreisen Usus ist) anpasst.
Gruß Bombadil2
Hallo zusammen,
ich bin jetzt zurecht gekommen.
für die Abbildung von Z–>N habe ich die folgende Definition genommen:
für x=0: f(x)=1
für x>=0: f(x)=2x+1
für xQ: Hier habe ich Contors erstes Diagonalargument verwendet.
Danke für die Antworten.
lg, hansmuff
Hallo hansmuff,
Deine Lösung sieht ganz vernünftig aus. Nur ein Problem: Du hast x=0 dreimal betrachtet.
für x=0: f(x)=1
für x>=0: f(x)=2x+1
Das ist konsistent, da f(0)=2*0+1=1 mit der ersten (und damit überflüssigen) Definition übereinstimmt.
für xQ: Hier habe ich Contors erstes
Diagonalargument verwendet.
Hätte ich auch. Ich dachte, Du sollest eine explizite Abbildungsvorschrift angeben. Das erfordert dann noch ein paar Überlegungen, lässt sich aber gut aus Cantors erstem Diagonalargument ableiten.
Liebe Grüße
Immo