Hallo,
ich soll für die folgenden Abbildungen entscheiden ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Ich habe mir mit wikipedia nochmal erarbeitet was was ist und kann das auch an unseren vorhergehenden Beispielen nachvollziehen, trotzdem habe ich bei denen keine richtige Ahnung. Kann mir jemand sagen was sie sind und vor allem wieso? Vielen Dank!
a) f: N–>N, f(x)=2x
b) f: R2–>R, f((x,y))=x+y
c) f: Z–>Z2, f(x)=(x,-x)
d) f: R2–>R2, f((x,y))=(x+y,x-y)
Hallo,
ich soll für die folgenden Abbildungen entscheiden ob sie
injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Ich habe mir mit
wikipedia nochmal erarbeitet was was ist und kann das auch an
unseren vorhergehenden Beispielen nachvollziehen, trotzdem
habe ich bei denen keine richtige Ahnung. Kann mir jemand
sagen was sie sind und vor allem wieso? Vielen Dank!
Wenn du fragst, ob eine Funktion surjektiv ist, dann fragst, ob jeder Mögliche Wert des Funktionsbereich bei der Funktion herauskommen kann.
a) f: N–>N, f(x)=2x
Lässt sich jede natürliche Zahl als 2*x darstellen, wobei x wieder eine natürliche Zahl ist? Geht es für 1? für 2? für 3? …
b) f: R2–>R, f((x,y))=x+y
Injektiv bedeutet hier: Gibt es nur eine Möglichkeit, ein x und ein y zu finden, sodass f(x,y) = z ist? setze einfach mal 4 ein. Hat
x + y = 4
nur eine Lösung? Oder mehrere?
Grüße,
Moritz
Hallo,
ich soll für die folgenden Abbildungen entscheiden ob sie
injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Ich habe mir mit
wikipedia nochmal erarbeitet was was ist und kann das auch an
unseren vorhergehenden Beispielen nachvollziehen, trotzdem
habe ich bei denen keine richtige Ahnung. Kann mir jemand
sagen was sie sind und vor allem wieso? Vielen Dank!
Hallo Anne,
zu den Begriffen Injektiv, Surjektiv und Bijektiv:
Du hast eine Abbildung von f: X->Y
-kannst du zu jeder Zahl y aus Y eine Zahl x finden, sodass f(x)=y, dann nennt man diese Abbildung f surjektiv. (d.h. dein Raum Y wird komplett durch Funktionswerte von x abgedeckt).
-wenn keine zwei Werte aus X auf den selben Funktionswert aus Y zeigen, dann nennt man eine Funktion f injektiv, d.h. f(x1)/=f(x2) wenn x1/=x2 ist.
-und bijektiv ist die Funktion, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
verständlich??? Ich hatte anfangs auch ein paar Schwierigkeiten damit.
a) f: N–>N, f(x)=2x
diese Funktion ist nicht surjektiv, weil eine du auf eine ungerade Zahl, wie z.B. 5 oder 7 nicht abbilden kannst, diese aber in dem Raum Y (hier N) enthalten sind.
Sie ist injektiv, weil du keine zwei Zahlen aus X (hier N) findest, die auf den selben Funktionswert aus Y (auch N) abgebildet werden
b) f: R2–>R, f((x,y))=x+y
diese Funktion ist surjektiv, da du jeden Wert aus R erzeugen kannst, aber sie ist nicht injektiv, weil du für x und y unterschiedliche Zahlen einsetzen kannst aber trotzdem das gleiche rausbekommst.
Bsp: f(3,4)=7, aber auch f(2,5)=7 und auch f(1,6)=7
und sowas darf bei Injektivität nicht sein…
versuch diese hier mal selber.
c) f: Z–>Z2, f(x)=(x,-x)
d) f: R2–>R2, f((x,y))=(x+y,x-y)
Ich hoffe ich konnte verständlich erklären.
x303
Hallo,
erstmal danke für die schnelle Antwort!
Ich hab es jetzt bei c) und d) selbst probiert und komme dazu, dass c) injektiv ist, weil jedem x maximal ein y zugeordnet werden kann und dass es nicht surjektiv sein kann, weil es y gibt, die keinem x zugeordnet werden können z.B.: (3,4) ungleich (3,-3). Ist das richtig?
Bei d) glaube ich, dass es bijektiv ist. Bei der Begründung bräuchte ich Hilfe. Ich habe mir überlegt: d) ist eigentlich nichts anderes als ein ein Gleichungssystem mit 2 linearen Gleichungen:
I x+y=x1
II x-y=y1
Dieses System ist eindeutig lösbar, weil I kein Vielfaches von II ist. Also ist das ganze umkehrbareindeutig, sprich bijektiv. Die Frage ist wie schreibe ich das mathematisch richtig auf??? Kann mir nochmal jemand an dem Beispiel zeigen wie ich zeige, dass es injektiv UND surjektiv ist?
Vielen Dank!
Ich hab es jetzt bei c) und d) selbst probiert und komme dazu,
dass c) injektiv ist, weil jedem x maximal ein y zugeordnet
werden kann und dass es nicht surjektiv sein kann, weil es y
gibt, die keinem x zugeordnet werden können z.B.: (3,4)
ungleich (3,-3). Ist das richtig?
ja, das sollte passen. Z2 ist ja nichts anderes als ZxZ und in ZxZ hast du halt auch Zahlenpaare (Tupel) wie (1,2), (1,3) usw auf die du nicht abbilden kannst, deswegen nicht surjektiv.
Bei d) glaube ich, dass es bijektiv ist. Bei der Begründung
bräuchte ich Hilfe. Ich habe mir überlegt: d) ist eigentlich
nichts anderes als ein ein Gleichungssystem mit 2 linearen
Gleichungen:
I x+y=x1
II x-y=y1
Dieses System ist eindeutig lösbar, weil I kein Vielfaches von
II ist.
genau, d.h. du kannst jedes Zahlenpaar aus Y (f:X->Y) eindeutig durch x und y erzeugen (surjektiv) Aber gleichzeitig gibt es nur eine mögliche Lösung dieses Zahlenpaar zu erzeugen (injektiv), deswegen eindeutig.