injektivität nachweisen

Wissenschaft Mathematik
#1

Wenn man Injektivität nachweisen will muss man doch die Funktion ableiten und schauen ob sie immer strikt grösser oder strikt kleiner null ist.
Falls ja ist sie somit streng monoton fallend oder steigend.
beispiel:
F(x)=4x+2
F’(x)=4 somit >0 für alle x
–> Streng monoton steigend und somit injektiv

Wie sieht es nun aber aus, wenn es eine streng monoton steigende Funktion ist mit einem Sattelpunkt?
Dann gilt ja nicht F’(x)>0 sondern nur grösser GLEICH 0.
Aber die Funktion ist ja trotzdem injektiv oder?

#2

Ja, den streng monton steigend/fallend ist zwar eine hinreichende Bedingung aber sie ist nicht notwendig.
Denn es gilt:
Jedes Element der Zielmenge wird höchstens einmal als Funktionswert angenommen. Es werden also keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf ein und dasselbe Element der Zielmenge abgebildet.
Beispiel y=x³: Sattelunkt x=0, y=0. Der Wert y wird nur an dieser Stelle angenommen.