kann mir jemand bitte helfen ?
Ich will prüfen ob
P : M --> M (M = menge der polynomfunktion )
P(x)= 48x^7 - 10x^4 + 2 x
injektiv ist
seien x1 und x2 mit x1 = x2
48x1^7 - 10x1^4 + 2x1 = 48x2^7 - 10x2^4 + 2x2
48x1^7 - 10x1^4 + 2x1 - 48x2^7 + 10x2^4 - 2x2 = 0
48(x1^7-x2^7) -10(x1^4-x2^4)+2(x1-x2)= 0
weil x1= x2
ist 0 = 0
und die funktion ist injektiv
ist alles richtig ?
merci beaucoup
moin;
Ich glaube, du musst dir richtig klar machen, was Injektivität eigentlich bedeutet.
Es bedeutet nicht, dass f(x1)=f(x2) für x1=x2 gilt
(das wäre nämlich für jede Funktion der Fall 
), sondern dass diese Gleichung nur und ausschließich für x1=x2 gilt, d.h. das es keine unterschiedlichen Werte gibt, die den gleichen Funktionswert liefern.
Dennoch ist deine Rechnung richtig und deine letzte Gleichung
48(x_1^7-x_2^7) -10(x_1^4-x_2^4)+2(x_1-x_2)= 0
hat als einzige Lösung x1=x2, womit die Funktion injektiv ist.
mfG
hi,
Ich will prüfen ob
P : M --> M (M = menge der polynomfunktion )
P(x)= 48x^7 - 10x^4 + 2 x
injektiv ist
ich denke, du willst überprüfen, ob das konkrete polynom injektiv ist, aber nicht auf der menge M „der polynomfunktionen“, sondern auf den reellen zahlen.
dieses polynom P ordnet ja nicht einem polynom ein anderes zu (oder meinst du das schon?), sondern zunächst mal jeder zahl eine andere.
also:
P: |R -> |R
ich denke, P ist ein element von M, nicht auf M definiert.
wenn du freilich das einsetzen von (polynomialen) termen (in ein polynom) meinst (und du also insgesamt nicht von zahlen, sondern vom polynomring sprichst und also von der 0 als dem nullpoynom), könnte das schon gemeint sein.
seien x1 und x2 mit x1 = x2
diese annahme zeigt (wie das japanesische teufelchen schon sagte) ein grundlegendes missverständnis.
injektiv ist eine funktion nicht, wenn gleiche „argumente“ (x-werte) gleiche funktionswerte liefern (das ist immer so!), sondern wenn aus der gleichheit der funktionswerte die gleichheit der argumente folgt. (wenn also ausschließlich gleiche argumente gleiche funktionswerte liefern).
48x1^7 - 10x1^4 + 2x1 = 48x2^7 - 10x2^4 + 2x2
48x1^7 - 10x1^4 + 2x1 - 48x2^7 + 10x2^4 - 2x2 = 0
48(x1^7-x2^7) -10(x1^4-x2^4)+2(x1-x2)= 0
weil x1= x2
ist 0 = 0
0 = 0 gilt immer, nicht nur wenn x1 = x2
und die funktion ist injektiv
ist alles richtig ?
nein.
aber:
wenn
48x1^7 - 10x1^4 + 2x1 = 48x2^7 - 10x2^4 + 2x2
dann
48(x1^7-x2^7) - 10(x1^4-x2^4) + 2(x1-x2) = 0
dann ist das sicher erfüllt wenn
x1 = x2
und jetzt müsste man sich an sich noch genau überlegen, dass das nur dann der fall ist. das ist aber so. ich weiß jetzt nicht genau, wie genau du das noch brauchst.
hth
m.
erstmal danke für deine Antwort
mein fehler
P : |R —> |R und M ist die menge der polynomfunktion
ich will prüfen ob P(x)= 48x^7 - 10x^4 + 2 x injektiv ist
ich glaube ich habe alles durcheinander geschrieben
so nochmal
erstmal die definition
sei f : X --> Y
f ist injektiv falls aus x1,x2 element X und f(x1)=f(x2) immer x1 = x2 folgt
dann haben wir
seien x1,x2 element |R und P(x1)= P(x2)
48x1^7 - 10x1^4 + 2x1 = 48x2^7 - 10x2^4 + 2x2
48x1^7 - 10x1^4 + 2x1 - 48x2^7 + 10x2^4 - 2x2 = 0
48(x1^7-x2^7) -10(x1^4-x2^4)+2(x1-x2)= 0
weil x1= x2
0 = 0
daraus folgt P ist injektiv
diesmal ist fehlerfrei oder ?
merci
hi erstmal danke für deine Antwort
ich habe nochmal die definition gelesen
f : X --> Y
f ist surjektiv falls aus x1,x2 element X und f(x1) = f(x2)
folgt x1 = x2
kannst du mir bitte sagen wie du die potenzen von x geschrieben hast ohne so „x^2“
zu schreiben ? hast du woanders kopiert und mit "paste " gemacht ?
danke
moin;
f ist surjektiv falls aus x1,x2 element X und f(x1) = f(x2)
folgt x1 = x2
Wenn du mit surjektiv injektiv meinst, dann ja. 
In deiner Rechnung sah es allerdings so aus, als wärst du von x1=x2 ausgegangen und hast so gezeigt, dass f(x1)=f(x2) gilt, was die falsche Richtung wäre.
Die Potenzen in der Formel habe ich mithilfe von LaTeX geschrieben, hierfür kann ich dir die FAQ-Seite http://www.wer-weiss-was.de/app/faqs/classic?entries… empfehlen, die ebenfalls angezeigt wird, wenn du beim Erstellen/Editieren eines Artikels unter dem Artikelfeld auf „Hilfe zur LaTeX Benutzung“ klickst.
Eine weitere Möglichkeit liegt in den HTML-Tags sub und sup, einfach aIndex bzw. xa eingeben und es zeigt aIndex bzw. xa.
mfG
hi,
mein fehler
P : |R —> |R und M ist die menge der polynomfunktion
ich will prüfen ob P(x)= 48x^7 - 10x^4 + 2 x injektiv ist
wie ich angenommen hatte
ich glaube ich habe alles durcheinander geschrieben
so nochmal
erstmal die definition
sei f : X --> Y
f ist injektiv falls aus x1,x2 element X und f(x1)=f(x2) immer
x1 = x2 folgt
dann haben wir
seien x1,x2 element |R und P(x1)= P(x2)
48x1^7 - 10x1^4 + 2x1 = 48x2^7 - 10x2^4 + 2x2
48x1^7 - 10x1^4 + 2x1 - 48x2^7 + 10x2^4 - 2x2 = 0
48(x1^7-x2^7) -10(x1^4-x2^4)+2(x1-x2)= 0
so weit so gut.
wenn du jetzt schließen kannst, dass
x1 = x2
bist du fertig mit dem beweis der injektivität dieses polynoms.
weil x1= x2
0 = 0
das ist - wie schon gesagt - unsinn.
0 ist immer 0, nicht weil x1 = x2.
die frage ist: kannst du aus der zeile
48(x1^7-x2^7) -10(x1^4-x2^4)+2(x1-x2)= 0
auf
x1 = x2
schließen?
wenn x1 = x2, dann ist sicher
48(x1^7-x2^7) -10(x1^4-x2^4)+2(x1-x2)= 0
aber das ist nicht die frage.
daraus folgt P ist injektiv
diesmal ist fehlerfrei oder ?
nein, leider.
ich weiß leider nicht genau, welche mittel (kurvendiskussion?, potenzrechnung für binome?, ungleichungen?) für den nachweis des letzten schrittes zur verfügung stehen.
die frage ist: kann es ungleiche x-werte x1 und x2 geben, sodass
48(x1^7-x2^7) - 10(x1^4-x2^4) + 2(x1-x2)= 0
es gibt keine, aber wie weist mans nach?
m.