Guten Abend an alle,
irgendwie kapier ich gerade überhaupt nichts mehr!
Thema Integral: was bedeutet z.B. dM(x)/dx oder f(x)dx, wie ist davon die Aussprache (dM nach x, dM nach dx, M nach x???)
Und was hat dann das mit einer Ableitung zu tun - brauch ich diese vielleicht zum Berechnen???
Gibt es auch eine Möglichkeit ohne Integrale zu rechnen?
Vielleicht könnt ihr mir da weiterhelfen, aus den Büchern werd ich auch nicht mehr schlau!
D A N K E ! ! ! ! !
Gruß
Chris
Hi Christian,
Thema Integral: was bedeutet z.B. dM(x)/dx oder f(x)dx, wie
ist davon die Aussprache (dM nach x, dM nach dx, M nach x???)
die Aussprache für „dM(x)/dx“ ist „de-em-nach-de-ix-an-der-Stelle-ix“,
die für „f(x)dx“ ist „eff-von-ix-de-ix“.
dM/dx heißt Differentialquotient und ist definiert als Grenzwert
M(x+h) - M(x)
lim ---------------
h–\>0 h
Und was hat dann das mit einer Ableitung zu tun
Wenn Du zu einer gegebenen Funktion, z. B. f(x) = 3 x^6 - 5 x^3 + 2 x, den Differentialquotient für alle erdenklichen Stellen auf der x-Achse ausrechnest, dann erhälst Du ne neue Funktion, der man den Namen „Ableitungsfunktion“ oder kurz „Ableitung“ gegeben hat. Im Beispiel hier ist das f’(x) = 18 x^5 - 15 x^2 + 2.
- brauch ich diese vielleicht zum Berechnen???
Nee, zum Berechnen von Integralen brauchst Du die Stammfunktion, nicht die Ableitung.
Gibt es auch eine Möglichkeit ohne Integrale zu rechnen?
Wie meinst Du das? Solltest Du die Hoffnung hegen, daß es sich in Deinem Studium des Bauingenieurwesens bei diesen Integralen vielleicht um eine vorübergehende Erscheinung handeln könnte, dann hab ich jetzt 'ne Nachricht für Dich, die Du nicht gerne hören wirst… 
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Also, um noch 'ne ernste Antwort zu geben: Die Infinitesimalrechnung (also im wesentlichen Ableitungen und Integrale) ist DAS Kalkül der modernen Physik und verwandter Naturwissenschaften schlechthin – ohne die „höhere Mathematik“ geht dort praktisch garnichts. Aber keine Panik: Wenn man’s mal verstanden hat, dann ist es gar nicht mehr so wild. Setz Dich nicht zu stark unter Druck – mit der Zeit werden die Zusammenhänge schon klar.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo
In Ergänzung und kleiner Richtigstellung was Martin geschrieben hat:
Integralrechnung ist die Umkehrrechnung zur Ableitung (mit gewissen Einschränkungen). Also, wenn Du eine Funktion integrieren möchtest, dann brauchst Du dafür die Stammfunktion. Die Stammfunktion wiederum ist die Funktion, deren Ableitung die Funktion ergibt, die Du integrieren möchtest.
Darüberhinaus hat das Integral auch noch die anschauliche Bedeutung der Berechnung einer Fläche unter einer gegebenen Funktion
Integral- und Differenzialrechnung sind verwandt. Bei beiden rechnet man mit beliebig kleinen (aber nicht unendlich kleinen!) „Fuzzelchen“.
Im Zentrum steht die Funktion: Ein Wert f, der von einem anderen Wert x abhaengt: f(x). Die Steigung der Funktion ist die Aenderung des Funktionswertes, wenn man x um eine Einheit veraendert. Sei Delta_f(x)=f(x+delta_x)-f(x). Dann ist die Steigung naeherungsweise [f(x+delta_x)-f(x)] / delta_x = Delta_f(x)/delta_x (winziges Steigungsdreieck).
Jetzt macht man das delta_x immer etwas kleiner, als man sich gerade noch vorstellen kann: Dann hat man die Steigung bzw. die Ableitung f’(x)= Delta f(x) / delta_x, bzw df(x)/dx, ausgesprochen de-f nach de-x. Die Funktion ist „nach x abgeleitet“ worden. Z.B: Die Ableitung von x^2 nach x ist 2x. Kann man beweisen :[(x+dx)^2-x^2]/dx ist [x^2+2xdx+dx^2-x^2]/dx = 2x+dx. Wenn dx beliebig klein ist, bleibt 2x uebrig.
Integral: Das ist die Aufsummierung beliebig kleiner Fuzzel, zb um die Flaeche unter einer Funktion zwischen zwei x-Werten zu berechnen. Sei f(x) die Funktion, dann ist f(x)*delta_x die sehr schmale "Fuzzel"flaeche unter der Funktion an der Stelle x mit der Breite delta_x.
Die Summe aller Fuzzelflaechen ist die Gesamtflaeche S. Wenn delta_x sehr klein wird, nennt man es wieder dx, und das Summenzeichen wird zum Integral. Die Integration ist gewissermassen die Umkehrung der Ableitung. Denn die Steigung (Ableitung) f’(x) einer Funktion f(x) mal einem delta_x-Wert ist die Zunahme der Flaeche unter der Funktion f(x) an der Stelle x, dessen Steigung man hat. Daher geht f(x) aus f’(x) durch Integration hervor, oder f’(x) aus f(x) durch Ableitung nach x.
Tja, ich hoffe das hat geholfen, denn ich kann auch kein gutes Buch ersetzen.
Gruss, Moriarty
Hallo Christian:
Was die anderen unten gesagt haben ist richtig. Man sollte allerdings bei der Ableitung im Auge behalten, daß diese immer zunächst eine sogenannte „lokale“ Eigenschaft ist. Dies bedeutet, daß man die Ableitung zunächst immer nur an (wichtig!) einer Stelle berechnen kann. (Falls der entsprechende Grenzwert existiert. vgl. Artikel unten)
irgendwie kapier ich gerade überhaupt nichts mehr!
Thema Integral: was bedeutet z.B. dM(x)/dx oder f(x)dx, wie
ist davon die Aussprache (dM nach x, dM nach dx, M nach x???)
Und was hat dann das mit einer Ableitung zu tun - brauch ich
diese vielleicht zum Berechnen???
Da Du beides - Ableitung und Integral - erwähnst, vermute ich Du beschäftigst Dich zur Zeit mit der „Integration durch Substitution“. In diesem Fall kommen tatsächlich sowohl Ableitung als auch Integral in einer Formel vor.
(Ich setze im folgenden die notwendigen Voraussetzungen als gegeben voraus, um die Sache nicht allzusehr zu verkomplizieren.)
(Int heißt im folgenden Integral)
Int f(x) dx = Int f(g(u))*dg(u)/du du
Hierbei ist x=g(u) und man könnte auch schreiben:
Int f(x) dx = Int f(x)*dx/du du|_(x=g(u))
In dieser Form kann man sich die Formel sehr leicht merken.
Wie immer in der Mathematik gilt, daß diese Formel in beide Richtungen gelesen, sprich verwendet werden kann.
Um die Formel anwenden zu können mußt Du die Ableitung natürlich ausrechnen (==> Richtung) bzw. erkennen (
Hi Moriarty,
zuerst möchte ich erwähnen, daß ich Deine Erklärung ganz OK finde.
Aber Mathematiker sind nunmal sehr pingelig, was mache Sachverhalte angeht. Ich kenne es aus Physikvorlesungen, daß Physiker sehr gerne mit Differenzialoperatoren herumjonglieren (kürzen, erweitern usw.) und ich habe dadurch auch einiges gelernt (zumindestens kommen Physiker in der Praxis schneller zum Ziel).
Integral- und Differenzialrechnung sind verwandt. Bei beiden
rechnet man mit beliebig kleinen (aber nicht unendlich
kleinen!) „Fuzzelchen“.
Genaugenommen stimmt das nicht! Es sind im Prinzip doch unendlich kleine Funzelchen, denn Ableitungen sind Grenzwertbetrachtungen.
Betrachten wir zB. die Funktion f(x):=Wurzel(x) an der Stelle x=0.
Für beliebig kleine „Funzelchen“ existiert dort der Differenzenquotient (also ein Steigungsdreieck). Trotzdem gibt es dort keine Ableitung.
Gruss, Frank
Hallo Chris,
stell’ Dir das ganze mal geometrisch vor. Das Int f(x)dx ist nichts weiter als die Fläche zwische der Kurve f(x) und der x-Achse des Koordinatensystems. Wennste nu das Problem hast, das Integral von Int (f(x)-g(x))dx lösen zu müssen, dann subtrahierst Du simpel die Fläche G(x) von F(x). Soweit zum unbestimmten Integral. Beim bestimmten Integral gibt’s Grenzen.
Int f(x) von 0 bis 1 heisst nix anderes als Int f(1) minus Int f(0). Beispiel f(x)= x. Dann ist F(x) gleich x quadrat/2, andere Sachen siehe Formelsammlung. Also ist Int f(x) von 0 bis 1 gleich 1/2. Komplizierter wird die Sache, wenn f(g(h(x)))) ist. dazu solltest Du Dir die Grundregeln der Integral-und Differentialrechnung mal reinziehen (z. B. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik oder irgendein Buch über Mathematik für Ingenieure reinziehen, iss nich einfach gehtaber)
Wenn nicht mail mich!
Gruss Karl
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