gilt folgendes?
Der Ausdruck:
exp(-abs(z)^2)
über ganz R3 integriert (mit d^3z)
kann aufgeteilt werden in 3 Integrale die miteinander multipliziert werden?
int(exp(-abs(z)^2),z,-inf,inf)*int(exp(-abs(z)^2),z,-inf,inf)*int(exp(-abs(z)^2),z,-inf,inf)
denn nur so kann ich mir das Ergebnis in einer Musterlösung der Universität erklären. Nämlich: sqrt(pi)^3
Eine weitere Frage ist: wie kann das Integral ohne Rechner gelöst werden (teil der Aufgabe)?
Danke schon mal für die Auskunft
Hallo,
exp(-abs(z)^2)
über ganz R3 integriert (mit d^3z)
für ein z in IR^3 (mit Standard-Skalarprodukt und -Betrag), was ist denn abs(z)^2 ausgedrückt in Koordinaten?
int(exp(-abs(z)^2),z,-inf,inf)*int(exp(-abs(z)^2),z,-inf,inf)*int(exp(-abs(z)^2),z,-inf,inf)
Das ist jetzt aber ein anderes z.
–
PHvL
Der Ausdruck:
exp(-abs(z)^2)über ganz R3 integriert (mit d^3z)
Ortsvektor r = (x, y, z)
r2 = x2 + y2 + z2
∫∫∫ exp(–r2) d3r
= ∫∫∫ exp(–(x2 + y2 + z2) dx dy dz
= ∫∫∫ exp(–x2 – y2 – z2) dx dy dz
= ∫∫∫ exp(–x2) exp(–y2) exp(–z2) dx dy dz
= ∫ exp(–x2) dx · ∫ exp(–y2) dy · ∫ exp(–z2) dz
= √π · √π · √π
= √π3
kann aufgeteilt werden in 3 Integrale die miteinander
multipliziert werden?
Ja. Schnapp Dir mal ein Mathelehrbuch Deiner Wahl und führ Dir das Kapitel „Integration bei Funktionen mehrerer Veränderlicher“ zu Gemüte (Stichwort „iterierte Integrale“).
Eine weitere Frage ist: wie kann das Integral ohne Rechner
gelöst werden (teil der Aufgabe)?
Durch einen kleinen Trick, der in der Verwendung von Polarkoordinaten besteht. Selbst probieren?
Gruß
Martin
vielen dank!
wenn doch alle die schritte so einleuchtend dokumentieren würden.
auf den trick mit den vektor r mit x,y,z auszudrücken wäre ich nicht gekommen. bisher auch noch nie gesehen.
und so ist mir das mit dem aufteilen der integrale dann auch logisch 