Integral das mich wahnsinnig macht!

Wissenschaft Physik
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Hallo Ihr Lieben, bitte helft mir, ich drehe noch durch! Ich soll folgendes Integral berechnen:

dx/sin(2x) Grenzen sind oben pi/4, unten pi/6.

Ich hab auch die Lösung (1/4 ln 3) vorliegen, aber ich versuche seit gestern früh quasi nonstop drauf zu kommen und schaffe es einfach nicht! Was mache ich bloss falsch?? Ich bin mit dem Ansatz 1/sin x = ln tan x/2 rangegangen, habe erweitert oder gekürzt oder malgenommen etc. aber es klappt und klappt nicht! Bitte zeigt mir den Lösungsweg!

Stella

P.S. Es ist übrigens keine Schulaufgabe, sondern gehört zu freiwilligen Mathe-Uebungen im Studium.

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hi,

dx/sin(2x) Grenzen sind oben pi/4, unten pi/6.

Ich hab auch die Lösung (1/4 ln 3) vorliegen, aber ich
versuche seit gestern früh quasi nonstop drauf zu kommen und
schaffe es einfach nicht! Was mache ich bloss falsch?? Ich bin
mit dem Ansatz 1/sin x = ln tan x/2 rangegangen,

probiers mit 1/2 * ln(tanx) als stammfunktion.

hth
m.

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Hallo,

das ist aber keine besonders schwere Aufgabe.

Die von Dir zu „1/sin(x)“ angegebene Stammfunktion „ln(tan(x/2))“ ist korrekt. Also musst Du nur noch rechnen:

**2** ∫<sub>π/6...π/4</sub> dx 1/sin(2 x)

  = ∫<sub>π/3...π/2</sub> dx 1/sin(x)

  = [ln(tan(x/2))] <sub>π/3...π/2</sub>

  = ln(tan(π/4)) – ln(tan(π/6))

   tan(π/4)
  = ln ---------- tan(π/4) = 1 tan(π/6) = 1/3 √3
   tan(π/6)

   1
  = ln -------- 
   1/3 √3

  = ln(√3)

  = ln(3<sup>1/2</sup>)

  = **1/2 ln 3**

Beim Übergang von der ersten zur zweiten Zeile wurde die Identität

∫a…b dx f(λx) = 1/λ ∫λa…λb dx f(x)

benutzt.

Mit vorweihnachtlichem Gruß
Martin

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Hallo Michael,

probiers mit 1/2 * ln(tanx) als stammfunktion.

das habe ich schon versucht, aber ich komme nicht auf dieses vorgegebene Ergebnis, weil ln(tanx) pi/4 ist ohnehin 0, 1/2 ln(tanx) pi/6 ist 1/2 wurzel 3/3!

Lg Stella

5

hi,

probiers mit 1/2 * ln(tanx) als stammfunktion.

das habe ich schon versucht, aber ich komme nicht auf dieses
vorgegebene Ergebnis, weil ln(tanx) pi/4 ist ohnehin 0, 1/2
ln(tanx) pi/6 ist 1/2 wurzel 3/3!

eben: tan(pi/6) = wurzel(3)/3 = 1/wurzel(3) = 3^(-0,5)
also: ln(tan(pi/6)) = -0,5 * ln3
mit dem 1/2 von vorne und dem minus für die untere grenze kriegst du deine gewünschten 1/4 ln3.

du hast kein problem mit dem integrieren, sondern allenfalls mit der verbindung von wurzel und logarithmus.

allg: log(a^b) = b * log(a)
und: wurzel(a) = a^(1/2)

m.

6

Hallo und daaaaaanke (auch an Martin)!!!

Ist ja (jetzt!)klar, aber hat mich echt Nerven und viel zu viel Zeit gekostet!

Schöne Weihnachten,
Stella

du hast kein problem mit dem integrieren, sondern allenfalls
mit der verbindung von wurzel und logarithmus.

allg: log(a^b) = b * log(a)
und: wurzel(a) = a^(1/2)

m.