Hallo,
ich habe folgendes Integral:
int((1+x^4)^(-1),x,0,1/2*sqrt(2))
Wie kann ich das lösen? Habs im Nenner schon mit binomischer Formel probiert, aber komm nich recht zu einem Ergebnis. Muss ich etwas substituieren?
Vielen Dank für Antworten
Omikron
Hallo Omikron!
ich habe folgendes Integral:
int((1+x^4)^(-1),x,0,1/2*sqrt(2))
Wie kann ich das lösen?
Das Stichwort lautet wie so oft Partialbruchzerlegung. Du findest die vier komplexen Nullstellen
z_n = cos(phi_n)+I*sin(phi_n) mit phi_n = pi/4+n*pi/2, n=1,2,3,4.
Damit hast Du die Nullstellenzerlegung
(1+x^4) = (x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4).
Jetzt kannst Du entweder vier komplexe Integrale aufschreiben oder zwei reelle. Fuer den letzteren Fall fasst Du die konjugierten Loesungen zusammen,
(x-z_1)(x-z_4) = x^2-x*sqrt(2)+1
(x-z_2)(x-z_3) = x^2+x*sqrt(2)+1
Das fuehrt auf die Partialbruchdarstellung
1/(1+x^4) = (Ax+B)/(x^2-x*sqrt(2)+1) + (Cx+D)/(x^2+x*sqrt(2)+1)
mit geeigneten Koeffizienten A,B,C,D. Die beiden entstehenden Integrale sind elementar loesbar. Der Anteil mit x im Zaehler ergibt den Logarithmus des Nenners und der Rest fuehrt auf das Arkustangensintegral.
Viel Vergnuegen,
klaus