Schönen guten Tag,
bräuchte eure Hilfe für das bestimmen eines Integrals mit festgelegtem Integrationsweg.
Ich soll das Integral
\int_0^{\infty} \frac{x}{1+x^4} dx
berechnen.
Der Integrationsweg ist folgender: http://www.bilder-space.de/bilder/67f6a1-1282746828.jpg
Die Parameterisierung der einzelnen Streckenabschnitte ist kein Problem, nur weiß ich dann nicht, wie ich weiterrechnen soll.
Nehmen wir zum Beispiel \gamma_1:
\int_{\gamma_1} \frac{x}{1+x^4} dx = \int_0^1 \frac{tr}{1+(tr)^4} dt
Zum Lösen des Integrals ohne Integrationsweg bringt eine Substitution den gewünschten Erfolg, nur hier offenbart sie mir nichts.
Wolframalpha gibt mir \frac{\pi}{4} aus, was ich auch vermutet hätte (ohne den Integrationsweg kann man des Integral ja einfach durch Subst. lösen).
Also müsste der erste und dritte Abschnitt des Weges eig 0 ergeben - könnte mir das jemand zeigen?
Vielen Dank
Gruß René
Die Parameterisierung der einzelnen Streckenabschnitte ist
kein Problem, nur weiß ich dann nicht, wie ich weiterrechnen
soll.
Nehmen wir zum Beispiel \gamma_1:
\int_{\gamma_1} \frac{x}{1+x^4} dx = \int_0^1
\frac{tr}{1+(tr)^4} dt
Hallo René,
hier hat sich schon der erste Fehler eingeschlichen, du hast nämlich die innere Ableitung der Kurve vergessen. Es ist aber ohnehin geschickter du wählst als Kurve
\gamma_1:[0,r]\rightarrow \mathbb{C}
t\mapsto t
Dann musst du das Integral
\int\limits_0^r\frac{t}{1+t^4}\ dt
berechnen. Das ergibt
\frac{1}{2}\arctan(r^2)
Das Integral über γ3 ergibt genau das gleiche, und über γ2 kommt -arctan(r2) raus wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Gruß
hendrik
Hey Hendrik,
tut mir leid, dass ich mich nicht früher gemeldet habe. Danke aber für deine Antwort.
Zurück zum Problem:
Richtig, die innere Ableitung hatte ich vergessen.
Dein Integral über \gamma_1 und \gamma_3 sollte stimmen. Nur bei \gamma_2 sollte 0 rauskommen.
Ansonsten würden wir das Problem bekommen, dass
\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 = \frac{1}{2}\arctan(r^2) + \frac{1}{2}\arctan(r^2) - \arctan(r^2) = 0
Nach Wolframalpha sollte aber \frac{pi}{4} rauskommen, was auch stimmen würde für \lim_{r \to \infty} und \int_{\gamma_2} = 0
Gruß René
Dein Integral über \gamma_1 und
\gamma_3 sollte stimmen. Nur bei
\gamma_2 sollte 0 rauskommen.
Hallo René,
das Integral über γ2 habe ich folgendermaßen berechnet.
\gamma_2(t)=re^{it}\text{ f"ur }0\leq t\leq \frac{\pi}{2},\ \ \gamma_2’(t)=ire^{it}
Daraus entsteht das Integral
\int\limits_{\gamma_2}\frac{x}{1+x^4}dx=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{ir^2e^{2it}}{1+r^4e^{4it}}dt
Jetzt kann man substituieren mit s=r2e2it und dt=ds/(2is). Daraus ergibt sich das Integral
\frac{1}{2}\int\limits_{r^2}^{-r^2}\frac{1}{1+s^2}ds
und das ist -arctan(r2).
Wenn du einen Fehler findest (oder irgendjemand anderes) lass es mich bitte wissen.
Gruß
hendrik
