Hallo liebe Experten,
ich stehe ein wenig auf dem Schlauch und würde mich freuen, wenn mir vielleicht jemand weiterhelfen könnte:
Aufgabe: f(x)=-3x^2+6x+t
Für welche t liegen zwischen Graph und x-Achse im Intervall von [0;3] 27 Fächeneinheiten?
Soweit, so klar.
Meine Antwort lautet: t=9
Nun klingelt mir aus der letzten Mathestunde noch im Ohr, dass wir die Nullstellen überprüfen sollen. Das wurde aber nicht weiter besprochen, weil die Stunde zuende war.
Was hat es nun mit der Nullstellensuch auf sich?
Die Nullstellen meiner Funktion liegen bei x= -1 und x= 3
3 bildet also die rechte Grenze und -1 die linke Grenze. Oder?
Das würde ja bedeuten, dass mein Ergebnis für t = 9 doch nicht stimmt, oder?
Zusammenfassung:
Ich verstehe, dass die Nullstellen NICHT innerhalb des Intervalls auftauchen sollten. Was aber nun, wenn sie über das Intervall hinaus gehen?
vielen Dank für Erklärungsbemühungen!
Hallo =)
Erstmal um dich zu beruhigen:
f(x)=-3x^2+6x+t
int(f(x)dx) von 0 bis 3:
[-x^3+3x^2+tx]x=3 :
-27+27+t*3=27 => t=27/3=9
Dein Ergebnis ist also richtig.
Was das mit den nullstellen zu tun haben soll, weiss ich aber nicht. Zumal diese Nullstellen nicht in deinem Intervall liegen (bzw. nur auf der Grenze), wie du schon gesagt hast.
Nullstellen:
-3x^2+6x+t=0 => x^2-2x-(1/3)t=0
Deine Nullstellen liegen bei x1=1+1/3*(9+3*t)^(1/2) und x2=1-1/3*(9+3*t)^(1/2).
Was das aber mit dem Integral zu tun haben soll weiss ich nicht, ich sehe da keinen Zusammenhang.
Worauf aufmerksam gemacht werden sollte, wäre vielleicht, dass wenn eine Funktion teilweise positiv und negativ ist: nehmen wir mal f(x)=x und integrieren dies auf dem Intervall von x=-1 bis x=1.
int(xdx)=1/2*[x^2]=1/2*(1-1)=0
Wie aber unschwer zu erkenne ist, gibt es eine Fläche unter der Funktion. Wenn man nun diese gesamte Fläche (ob die funktion nun positiv oder negativ ist) berechnen will, braucht man den Betrag der Funktion und muss diesen integrieren…
Wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall das Vorzeichen wechselt (und stetig ist) wird an der Stelle, wo die funktion das Vorzeichen wechselt auch eine nullstelle sein. Somit könnte man einzelne Intervalle betrachten und diese integrieren…
MfG, Christian
moin;
deine Lösung ist zwar richtig (es wird tatsächlich eine Fläche dieser Größe von Graph und x-Achse im Intervall eingeschlossen), aber leider nicht die einzige Lösung. Des weiteren wird für mich nicht ersichtlich, wie du auf diesen Wert gekommen bist - was möglicherweise auch mit dem Fehlen der weiteren Lösung zusammenhängt.
Die Nullstellen sind für das Intervall überhaupt nicht wichtig - es wurde ja explizit das Intervall angegeben, über dem die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnet werden sollte.
Der Grund dafür, dass die Nullstellen notwendig zur Überprüfung sind, liegt vielmehr in einer der unbequemeren Eigenschaften der Stammfunktion.
Wie du wissen solltest, entspricht der Funktionswert der Stammfunktion an einer Stelle der aufsummierten Fläche oberhalb der x-Achse zwischen der jeweiligen Stelle und einer bestimmten anderen Stelle.
Hieraus folgt allerdings, dass Streckenteile der Funktion, die im negativen Bereich (der y-Achse) liegen, negativ in das Integral eingehen -
vgl. hierzu auch die Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall [-1,1] von f(x)=x vs. \int_{-1}^1x\ \delta x
Sollten nun also Nullstellen innerhalb deines Intervalls auftauchen, läge die dringende Vermutung nahe, dass negative Flächenteile mit eingeflossen sind und demzufolge die wirkliche zwischen Graph und x-Achse eingeschlossene Fläche bereits größer ist.
mfG
Moin,
Was das mit den nullstellen zu tun haben soll, weiss ich aber
nicht. Zumal diese Nullstellen nicht in deinem Intervall
liegen (bzw. nur auf der Grenze), wie du schon gesagt hast.
Nullstellen:
-3x^2+6x+t=0 => x^2-2x-(1/3)t=0
Deine Nullstellen liegen bei x1=1+1/3*(9+3*t)^(1/2) und
x2=1-1/3*(9+3*t)^(1/2).
Was das aber mit dem Integral zu tun haben soll weiss ich
nicht, ich sehe da keinen Zusammenhang.
Wenn ich nichts übersehen habe, ist für t keine Einschränkung vorhanden, d.h. t aus R. Für t = -3 ergibt sich x = 1 als Nullstelle, also innerhalb des Intervalls [0;3].
Gruß Volker
Hallo =)
deine Lösung ist zwar richtig (es wird tatsächlich eine Fläche
dieser Größe von Graph und x-Achse im Intervall
eingeschlossen), aber leider nicht die einzige Lösung.
Doch, für t gibt es nur eine Lösung und das wäre t=9. Das Integral von x=0 bis x=3 bestimmen und gleich 27 setzen. Hier gibt es für t nur eine Lösung.
Mfg, Christian
Ich habe mal weitergemacht.
Damit innerhalb des Intervalls keine Nullstelle auftritt, muss ich fordern: x1 >= 0 und x2 == 9 und t2 >= 0. Beide Bedingungen lassen sich durch die einschränkendere Bedingung t >= 9 erfüllen.
Mit dieser Randbedingung kann ich dann die angeführten Rechnungen durchführen und komme zum Ergebnis t = 9, damit der Flächeninhalt 27 FE hat.
Gruß Volker
PS. ich habe einige Fehler bemerkt und den Artikel nach Korrektur neu gepostet, für diejenigen, die den Artikel schon gelesen haben
moin;
ach, tatsächlich?
Mit Ansatz F(x)=-x³+3x²+tx und A=|F(3)-F(0)| komme ich auf
|3t|=27 t=±9
Und siehe da (dass beide Funktionen keine Nullstellen IM entsprechenden Bereich haben, darfst du gerne nachrechnen):
\left|\int_0^3-3x^2+6x+9\ \delta x\right|=\left|\int_0^3-3x^2+6x-9\ \delta x\right|=27
mfG
Oh, Entschuldigung, habe ja selber mit dem Betrag argumentiert - hast natürlich recht mit der Lösung t=±9
MfG, Christian
PS. ich habe einige Fehler bemerkt und den Artikel nach
Korrektur neu gepostet, für diejenigen, die den Artikel schon
gelesen haben
Wo ist der jetzt gepostet??? {Bei mir sind die Nullstllen bei (-1) und (+3)}
Horst