Integral Rotationskörper

[Lia_Enie_67f58b]

Ich komme bei dieser Aufgabe hier einfach nicht weiter.
oder besser gesagt, weiß ich erst gar nicht wie ich das ganze angehen soll ?!
ich bin die ganze Zeit schon am probieren mit dem GTR, aber was wirklich sinnvolles kommt nicht dabei raus.

Ich habe also ein Fass h=1,2m r=0,8m R= 1,0m (Skizze!)
a) Ich muss nun das Volumen rausbekommen, was ja aber ohne Funktion schlecht geht. Diese soll ich jetzt als erstes herausfinden, eine quadratische Funktion, die dann durch Rotation um die x-achse mein Fass bildet.

b) „Vergleichen Sie V mit den Volumina V1 und V2 von Zylindern, welche dieselbe Höhe h, aber die Radien r1= 0,5(R+r) bzw. r2= 1/3(2R+r) besitzen. Geben Sie die prozentuale Abweichungen von V1 bzw. V2 von V an.“

ich steh gerade aufm Schlauch >.

[Martin]

Ich habe also ein Fass h=1,2m r=0,8m R= 1,0m (Skizze!)
a) Ich muss nun das Volumen rausbekommen, was ja aber ohne
Funktion schlecht geht. Diese soll ich jetzt als erstes
herausfinden, eine quadratische Funktion, die dann durch
Rotation um die x-achse mein Fass bildet.

Hallo,

die einfachste solche Funktion, die qualitativ bereits richtig ist (nur quadratische Abhängigkeit des Radius ρ von der Höhe h ist gefordert), ist offensichtlich

ρ(h) = 1 – h²

Dieses Fass hat einen Deckelradius von 0, einen Bauchradius von 1, die Höhe 2, und die h-Koordinate hat ihren Nullpunkt auf halber Höhe in der Fassmitte. Wir wünschen jedoch ein Fass mit Deckelradius r, Bauchradius R, Höhe H, und die h-Koordinate soll ihren Nullpunkt am Fassboden haben. Wir „korrigieren“ die Funktion schrittweise:

ρ(h) = R (1 – h²)

hat immer noch einen Deckelradius von 0 (schlecht), aber einen Bauchradius von R (gut).

ρ(h) = r + R (1 – h²)

hat einen Deckelradius von r (gut), aber einen Bauchradius von r + R. Hoppla! Es ist jedoch klar, wie das Problem mit dem Bauchradius schnell behoben ist:

ρ(h) = r + (R – r) (1 – h²)

hat einen Deckelradius von r und einen Bauchradius von R – hier stimmt schon alles!

Jetzt müssen wir nur noch h durch einen geeigneten Skalierungsfaktor dividieren, damit das Fass nicht wie bis jetzt die Höhe 2, sondern die Höhe H hat. Mit dem Faktor H/2 passt es:

ρ(h) = r + (R – r) (1 – (h/(H/2))²)

ρ(h) = r + (R – r) (1 – 4 (h/H)²)

hat einen Deckelradius von r, einen Bauchradius von R, und die Höhe H.

Bleibt noch der Nullpunkt der h-Koordinate. Um den von der Fassmitte zum Fassboden zu verlagern, ist h/H um 1/2 zu vermindern:

ρ(h) = r + (R – r) (1 – 4 (h/H – 1/2))²)

Fertig. Wenn Du r, R und H irgendwelche Werte gibst und Dir die Funktion plotten läßt, kannst Du Dich von ihrer Richtigkeit überzeugen.

Gruß
Martin

[michael_f7f5bc]

hi,

Ich habe also ein Fass h=1,2m r=0,8m R= 1,0m (Skizze!)
a) Ich muss nun das Volumen rausbekommen, was ja aber ohne
Funktion schlecht geht. Diese soll ich jetzt als erstes
herausfinden, eine quadratische Funktion, die dann durch
Rotation um die x-achse mein Fass bildet.

leg die umrissbildende linie für das fass so, dass sie symmetrisch zur y-achse verläuft. dann hast du y(0,6) = y(-0,6) = 0,8 und y(0) = 1. zwischen den endpunkten -0,6 und 0,6 verläuft die „höhe“ des fasses; bei x = ±0,6 hast du den kleinen radius und bei x = 0 den großen.

(du musst dazu das bild gedanklich um 90° drehen … und bitte vermeide eine web-seite, die eine derart nervöse reklame mit sich führt.)

aus symmetriegründen kannst du y = ax² + b ansetzen und mit den gleichungen
y(0) = 1
y(0,6) = 0,8
bekommst du nach einsetzen und lösen des gleichungssystems
y = -5x²/9 + 1

das lässt du dann nach der formel
V = pi * Integral(y²) dx
im prinzip zwischen -0,6 und 0,6 um die x-achse rotieren … leichter aber aus symmetriegründen ist
V = 2 * pi * Integral(y²) dx zwischen 0 und 0,6

b) „Vergleichen Sie V mit den Volumina V1 und V2 von
Zylindern, welche dieselbe Höhe h, aber die Radien r1=
0,5(R+r) bzw. r2= 1/3(2R+r) besitzen. Geben Sie die
prozentuale Abweichungen von V1 bzw. V2 von V an.“

naja: zylindervolumen = pi * r² * h
nachdem die aufgabe offenbar nicht so sehr an eine allgemeine lösung denkt, rechnest du halt die volumina anhand von r, R und h aus und schaust die die prozentuale abweichung zu V an.
prozentuale abweichung: größeres durch kleineres durchdividieren (und ergebnis mal 100 nehmen); dann weißt du, wieviel prozent vom kleineren das größere ist.

hth
m.