Hallo,
folgende Aufgabe:
Das Integral Int(1…x)(COS(t)/t)dt soll nach Reihenentwicklung berechnet werden.
Wie mache ich das?
Danke Ajo
Hi,
die eihenentwicklung des Cosinus ist:
cos(t) = 1-t^2/2! + t^4/4! - t^6/6! + …
Das setzt Du für den Cosinus ein und nützt dann aus, daß Du Integral und Summe in diesem Fall vertauschen kannst.
Max
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Danke bisher, aber da ist noch was unklar:
Was für eine Reihe ist das? (Fourier, Taylor, binomische,…).
Inwiefern kann ich Integral und Summe vertauschen?
So wie ich das verstanden habe, kann ich jetzt cos t durch die Reihe ersetzen und dann die einzelnen Glieder viel leichter integrieren als der Bruch?
Ajo
Hallo,
man kann den cosinus (und tut es auch!) über die angegebene Reihe definieren.
Diese stimmt mit der Taylorreihenentwicklung des Cosinus überein.
Für den Cosinus konvergiert also die Taylorreihe an jedem Punkt gegen den Funktionswert.
Wenn man nun die Reihe in das Integral einsetzt, dann kann man in diesem Fall die Reihe und das Integral vertauschen. Das geht nämlich im allgemeinen nicht, in diesem (und in vielen anderen Fällen) geht es.
Dann steht da also eine Summe über viele Integrale, die im einzelnen ganz einfach sind.
Max
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danke erst mal, aber ich glaube nicht, dass unser Prof. das so gemacht haben will, da wir grad Fourier- und binomische Reihen und jetzt gewöhnliche Differentialgleichungen haben
Ajo
Danke bisher, aber da ist noch was unklar:
Was für eine Reihe ist das? (Fourier, Taylor, binomische,…).
Eine Potenzreihe, sans phrase, no strings attached.
Inwiefern kann ich Integral und Summe vertauschen?
Weil der Konvergenzradius unendlich ist (als Teil der Exponentialreihe). Jede Potenzreihe hat innerhalb ihres Konvergenzradius eine Stammfunktion, die gerade durch gliedweises Integrieren gewonnen wird
So wie ich das verstanden habe, kann ich jetzt cos t durch die
Reihe ersetzen und dann die einzelnen Glieder viel leichter
integrieren als der Bruch?
Du kannst fuer die einzelnen Summanden den Bruch einfach bestimmen. Erwarte nicht, dass es nach der Integration einen geschlossenen Ausdruck gibt.
Ciao Lutz